Глава 14. Дополнительные соотношения между элементами в треугольнике

14.3. Доказательство некоторых формул

Доказательство:

1

Рисунок 14.3.1

Из основной формулы

С другой стороны

По теореме синусов  откуда

Подставляя выражения для и a в основную формулу, получим искомое выражение.

Доказательство:  По теореме косинусов получим Отсюда

  где Подставляя полученное выражение в формулу получим искомую формулу.

2

Рисунок 14.3.2

Доказательство:

По свойству 2 площади простой фигуры имеем

Отсюда имеем искомое выражение.

Доказательство: По формуле 1 по теореме синусов  т. е. Подставляя выражение для в формулу для площади треугольника, получим искомую формулу.

3

Рисунок 14.3.3

Доказательство: из теоремы синусов следует, что Для доказательства последнего равенства рассмотрим треугольник ABC, описанную около него окружность Проведем диаметр BD. – прямоугольный, т. к. опирается на диаметр. Кроме того, как опирающиеся на одну и ту же дугу AB. Из треугольника BAD имеем Отсюда получаем искомое равенство

4

Рисунок 14.3.4

Доказательство: По формуле 1 этого раздела Из теоремы 11.10  Тогда Подставляя выражение для в формулу площади, получаем

Доказательство следует из формулы для площади треугольника.

Доказательство следует из формулы 1.

5

Рисунок 14.3.5

Доказательство: Пусть OE = OF = OK = r; Отсюда CE = CF = r. По свойству отрезков касательных AK = AE = b – CE = b – r. BK = BF = a – CF = a – r. Но AK + BK = AB = c. Имеем c = b – r + a – r = a + b – 2r. Откуда получаем

Доказательство является следствием формулы 5, если иметь в виду, что

6

Рисунок 14.3.6

Доказательство следует из подобия треугольников ADC и CDB по двум углам так как а Отсюда или

Доказательство следует из подобия треугольников ACB и CDB.

Доказательство следует из подобия треугольников ACB и ADC.

Доказательство: Первые два равенства следуют из определения синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника, а последние два равенства – из определения тангенса того же угла.

7

Рисунок 14.3.7

Доказательство следует из формулы 1, если учесть, что и a = b = c.

Доказательство следует из формулы 3, если учесть, что  

Доказательство: Следует из формулы 4, если учесть, что

8

Рисунок 14.3.8

Доказательство: Пусть O – точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD. По свойству площадей имеем Но

Складывая левые и правые части, имеем

9

Рисунок 14.3.9

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 13.3. Второе равенство – следствие теоремы 13.3 и того, что

Третье равенство – следствие формулы 6.

10

Рисунок 14.3.10

Доказательство: Первое и второе равенства – следствие формулы 5 и того, что ромб – частный случай параллелограмма. Третье равенство – следствие формулы 6 и свойства ромба, задаваемого теоремой 7.8.

11

Рисунок 14.3.11

Доказательство: Следствие определения прямоугольника  формулы 6 и свойства прямоугольника, задаваемого теоремой 7.7.

12

Рисунок 14.3.12

Доказательство: Следствие определения квадрата и формулы 6.

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 7.12. Второе равенство – следствие теоремы 13.5.

13

Рисунок 14.3.13. Правильный n-угольник. r – радиус вписанной окружности.

Доказательство: Пусть – сторона правильного n-угольника, r – радиус вписанной в него окружности. Тогда по свойству площади , где p – полупериметр n-угольника.

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 9.4. Второе равенство – следствие формулы 3.

Первое равенство – следствие теоремы 9.6. Второе равенство – следствие теоремы 13.6.

Доказательство: Первое равенство – следствие определения радианной меры центрального угла. Второе равенство получается, если учесть следствие 9.4.

Доказательство: Первое равенство – следствие теоремы 13.1.

Второе равенство получается из первого, если учесть следствие 9.4.

14

Рисунок 14.3.14

Это является, в частности, прямым следствием теоремы Чевы и обосновано в §14.1. Для доказательства второй части утверждения рассмотрим треугольник ABC. Пусть AD и CE – медианы этого треугольника и O – точка их пересечения. Через точку E проведем прямую, параллельную прямой AD. Пусть F – точка пересечения этой прямой со стороной BC. Очевидно, EF – средняя линия в треугольнике ABD и, следовательно, Тогда из теоремы 4.13 следует, что Так как медиана была выбрана произвольно, то это очевидно для любой медианы, что и завершает доказательство.

15

Рисунок 14.3.15

Рассмотрим произвольный треугольник ABC со сторонами AB = c, BC = a, и AC = b. Пусть – медиана этого треугольника. Обозначим дополнительно Тогда

Применим теорему косинусов к треугольникам ADC и ADB. С учетом введенных обозначений имеем

Сложим правые и левые части этих равенств с учетом того, что Тогда получим Отсюда

16

Рисунок 14.3.16

Повторяя рассуждения предыдущего пункта, легко получить выражения для длин других медиан треугольника. Выпишем выражения, связывающие длины сторон треугольника и длины медиан этого же треугольника:

Рассматривая эти равенства как систему уравнений относительно a², b² и c² при известных m_a², m_b² и m_c², мы можем решить ее относительно, например, Обозначим и запишем систему в виде

Складывая последовательно первое уравнение со вторым и третьим, получим:

  или

Подставим найденные выражения для y и z в первое уравнение. После приведения подобных получим

или

Окончательно:

17

Рисунок 14.3.17

Пусть отрезок CD – биссектриса треугольника ABC. Обозначим Тогда По теореме синусов в треугольнике BDC имеем

или а в треугольнике ADC:

или

Но отсюда правые части равенств совпадают, следовательно, совпадают и левые: что и требовалось доказать.

Применим теорему косинусов в треугольниках BDC и ADC:

Умножим, соответственно, первое равенство на b, а второе на a и вычтем после этого из первого равенства второе. Получим

Преобразуем левую часть этого равенства. Используя результат пункта 32, можно записать цепочку равенств

С другой стороны, правая часть равенства может быть преобразована к виду

Поэтому имеем

Если a = b, то треугольник ABC – равнобедренный (AC = BC), и биссектриса CD совпадает с высотой, тогда искомое выражение для есть следствие теоремы Пифагора.

Если a ≠ b, то, сокращая эту разность, получим что дает искомое выражение для а именно:

Площадь треугольника BDC равна Аналогично площадь треугольника ADC равна По свойству площадей  где S – площадь треугольника ABC и Имеем равенство
С учетом того, что получим

Из треугольника ABC, используя теорему косинусов, найдем выражение для

но

Подставляя полученное выражение в формулу для длины биссектрисы, получим искомое выражение:

18

Рисунок 14.3.18

По формуле для площади S треугольника имеем

Отсюда можно найти

или, складывая почленно правые и левые части равенств, получить

С другой стороны, имеем или Приравнивая выражения для p и сокращая на S, получим искомое равенство:

19

Рисунок 14.3.19

В силу свойства 6.5 центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении биссектрисы ее углов. Так как то следовательно, треугольник COD – прямоугольный. В силу свойства прямоугольного треугольника, задаваемого формулой 11, квадрат длины высоты OM, опущенной на гипотенузу CD, равен произведению длин отрезков гипотенузы CM и MD, то есть

Так как CD – касательная к окружности  OMCD, то в силу единственности перпендикуляра к прямой, опущенного из данной точки вне ее, следует, что OM = R. Кроме того, из условия равнобокости трапеции и отрезков касательных CK и CM (MD и LD), проведенных из точки C(D), имеем

Подставляя в исходное равенство, получаем

Отсюда окончательно что и требовалось доказать.