14.1. Теорема Чевы

Глава 14. Дополнительные соотношения между элементами в треугольнике

14.1. Теорема Чевы

Теорема Чевы.

Пусть на сторонах треугольника ABC выбраны точки Отрезки , и пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

Доказательство

Необходимость. Пусть отрезки и пересекаются в одной точке O. Проведем через вершину B треугольника прямую a║AC (рис. 14.1.1). Пусть прямые и пересекают прямую a в точках M и N соответственно. Тогда из подобия треугольников и по двум углам ( как накрест лежащие и как вертикальные) имеем:

Аналогично из подобия треугольников и по двум углам ( и – как пары накрест лежащих):

Наконец, из подобия треугольников OAC и OMN по двум углам ( и ) получаем

Перемножив соответственно правые и левые части выписанных равенств, получим необходимое равенство.

Достаточность. Пусть выполнено равенство. Покажем, что отрезки и проходят через одну точку.

Пусть O – точка пересечения отрезков и а C' – точка пересечения отрезка AB с лучом CO. Тогда из только что доказанного следует, что

Сравнивая с условием теоремы, получим Следовательно, точки C' и совпадают.

Рисунок 14.1.1

Наряду с приведенной теоремой в приложениях бывает необходимо использовать обобщение этой теоремы. Прежде чем дать его формулировку, сделаем предварительно необходимые соглашения. На прямой AB возьмем произвольную точку C, отличную от точек A и B. Тогда векторы и коллинеарны. Так как то Отсюда, если точка C лежит на отрезке AB, то и если же C лежит вне отрезка AB, то и Будем в дальнейшем понимать отношение отрезков AC и CB, лежащих на одной прямой «со знаком», в описанном выше смысле.

Обобщенная теорема Чевы. Пусть прямые a, b, c проходят через вершины A, B, C треугольника ABC и пересекают прямые BC, CA, AB в точках

соответственно (рис. 14.1.2). Тогда прямые a, b, c пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда имеет место равенство

Рисунок 14.1.2

Доказательство

Для случая параллельных прямых (слева на рисунке 14.1.2) из теоремы Фалеса имеем соотношение

Перемножая левые и правые части равенств, получаем искомое равенство.

Обратно, пусть выполнено необходимое условие и при этом Тогда, проведя через вершину B прямую найдем точку B' ее пересечения с прямой AC. Как и в случае доказательства первой теоремы, получим

Если λ > 0, то B' и B₁ делят отрезок AC в одном отношении и, следовательно, совпадают. Если λ < 0, то точки B' и B₁ лежат вне отрезка AC по одну сторону от точки A или С в зависимости от того, лежат ли точки A₁ на отрезке BC или точка C₁ на отрезке AB и снова следует из равенства с необходимостью совпадение точек B₁ и B'. Для рассмотрения общего случая снова проведем через вершину B прямую a параллельную прямой AC (справа на рисунке 14.1.2). Треугольник AC₁C подобен треугольнику BC₁M. Отсюда следует из подобия треугольников AA₁C и NA₁B получаем Наконец, из гомотетичности относительно центра O треугольников ONM и OAC имеем Перемножая соответственно левые и правые части равенств, получаем искомое равенство. Доказательство достаточности аналогично случаю основной теоремы.

Приведем некоторые следствия из теоремы Чевы.

Следствие 14.1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке. В этом случае

Следствие 14.2.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство

Следствие 14.3.

Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанного в него треугольника, пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Жергона. Из свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности имеем: AB₁ = AC₁; BA₁ = BC₁ и CA₁ = CB₁. Отсюда следует равенство из теоремы Чевы и доказательство следствия 14.3.