Пусть A (x1; y1), B (x2; y2), C (x3; y3) – данные точки.
Вектор
имеет координаты
вектор
имеет координаты
Следовательно, вектор
имеет координаты
Вектор
имеет такие же координаты. По теореме 11.5
Теорема доказана.
1
Рисунок 11.2.1.
Правило треугольника
2
Рисунок 11.2.2.
Построение суммы векторов по правилу треугольника
Замечание. Теорема 11.6 дает следующий способ построения суммы произвольных векторов
и
Надо от конца вектора
отложить вектор
равный вектору
Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора
а конец – с концом вектора
будет суммой векторов
и
Правило параллелограмма: для векторов с общим началом их сумма изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
3
Рисунок 11.2.3.
Правило параллелограмма
Разностью векторов
и называется такой вектор который в сумме с вектором
дает вектор
откуда c1 = a1– b1; c2 = a2– b2.
Произведением вектора на числоλ называется вектор
т. е.
Для любого вектора
и чисел λ и μ
Для любых двух векторов
и
и числа λ
Теорема 11.7.
Абсолютная величина вектора
равна |λ || a|. Направление вектора
при
совпадает с направлением вектора
если λ > 0, и противоположно направлению вектора если λ < 0.
Построим векторы
и
равные
и
соответственно (O – начало координат). Пусть
и
– координаты вектора
Тогда координатами точки A будут числа
и
координатами точки B – числа
и
Уравнение прямой OA имеет вид: αx + βy = 0. Так как уравнению удовлетворяют координаты точки A (a1; a2), то ему удовлетворяют и координаты точки B (λa1; λa2). Отсюда следует, что точка B лежит на прямой OA. Координаты c1 и c2 любой точки C, лежащей на луче OA, имеют те же знаки, что и координаты a1 и a2 точки A, и координаты любой точки, которая лежит на луче, дополнительном к OA, имеют противоположные знаки.
Поэтому, если λ > 0, то точка B лежит на луче OA, а следовательно, векторы
и одинаково направлены. Если λ < 0, то точка B лежит на дополнительном луче и векторы
и противоположно направлены.
Абсолютная величина вектора равна
Теорема доказана.
4
Рисунок 11.2.4
Теорема 11.8.
Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов
и
существует такое число λ, что
Пусть
и одинаково направлены. Векторы
и
одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину
Значит, они равны:
Если векторы
и противоположно направлены, аналогично заключаем, что
Теорема доказана.
Теорема 11.9.
Пусть
и – отличные от нуля неколлинеарные векторы. Любой вектор
можно единственным образом представить в виде
Пусть A и B – начало и конец вектора
Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам
и Они пересекутся в некоторой точке C. Имеем
Так как векторы
и
коллинеарны, то
так как векторы
и
коллинеарны, то
Таким образом,
5
Рисунок 11.2.5.
К теореме 11.9
Для доказательства единственности представления допустим, что в условиях теоремы такое представление не единственно. То есть наряду с числами λ и μ такими, что
существуют числа
и
такие, что
и при этом верно хотя бы одно из соотношений
Пусть для определенности
Тогда из равенства
имеем
На основании теоремы 11.7 и замечания 11.1 получаем, что векторы
и
коллинеарны. Но это противоречит условию неколлинеарности этих векторов. Показанное противоречие доказывает единственность представления. Теорема доказана.
Скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением векторов
и называется число
Скалярное произведение векторов
и
обозначется
Для любых векторов
и верно:
Теорема 11.10.
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.
Пусть
и
– данные векторы и φ – угол между ними. Имеем:
или
Скалярное произведение
таким образом, выражается через длины векторов
и
т. е. систему координат можно выбрать любую, а величина скалярного произведения не изменится. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпало с началом вектора
а сам вектор
лежал на положительной полуоси оси Ox. Тогда координатами вектора
будут числа
и 0, а вектора
–
и По определению
6
Рисунок 11.2.6.
Скалярное произведение двух векторов
Единичные векторы
и имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.
Теорема 11.11.
Любой ненулевой вектор единственным образом можно разложить по координатным векторам, то есть записать в виде
Так как координатные векторы отличны от нуля и неколлинеарны, то любой вектор допускает разложение по этим векторам в силу теоремы 11.9
Найдем λ и μ. Умножим обе части равенства скалярно на вектор Имеем
С учетом того, что
и
ортогональны, имеем
Аналогично, умножая равенство на
получим
или
Таким образом, для любого вектора получается разложение
Так как в силу теоремы 11.4 и теоремы 11.5 координаты однозначно определяют вектор, то разложение единственно. Теорема доказана.