Глава 5. Решение треугольников

5.1. Прямоугольный треугольник

Аксиомы 1.4 и 2.1 позволяли приписывать отрезкам и углам числа, равные их мерам, то есть измерять отрезки и углы. До сих пор не было связи между величинами углов и длинами отрезков. С введением треугольников появляется возможность связать величины градусных мер углов треугольника и длин его сторон. Рассмотрим соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.

1

Рисунок 5.1.1. Прямоугольный треугольник

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Пусть угол (BAC) – искомый острый угол. Так, например, для угла BAC (рис. 5.1.1)

Пусть ABC и A1B1C1 – два прямоугольных треугольника с одним и тем же углом при вершинах A и A1, равным α . Построим треугольник AB2C2, равный треугольнику A1B1C1, как показано на рис. 5.1.2. Это возможно по аксиоме 4.1. Так как углы A и A1 равны, то B2 лежит на прямой AB. Прямые BC и B2C2 перпендикулярны прямой AC, и по следствию 3.1 они параллельны. По теореме 4.13 2 Рисунок 5.1.2. К теореме 5.1 Но по построению AC2  = A1C1; AB2 = A1B1, следовательно, Что и требовалось доказать.

Модель 5.2. Доказательство теоремы Пифагора

На рисунке 5.1.3 изображен прямоугольный треугольник. BC и AC – его катеты, AB – гипотенуза. По теореме BC² + AC² = AB².

Пусть ABC – данный прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C. 3 Рисунок 5.1.3. К доказательству теоремы Пифагора Проведем высоту CD из вершины C. По определению из треугольника ACD и из треугольника ABC. По теореме 5.1 и, следовательно, . Аналогично из Δ CDB, из Δ ACB, и Отсюда AB · BD = BC2. Складывая полученные равенства и, замечая, что AD + BD = AB, получаем AC2 + BC2 = AB · AD + AB · BD = AB (AD + BD) = AB2. Теорема доказана.

В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы. Косинус любого острого угла меньше единицы.

Пусть [BC] – перпендикуляр, опущенный из точки B на прямую a, и A – любая точка этой прямой, отличная от C. Отрезок AB называется наклонной, проведенной из точки B к прямой a. Точка C называется основанием наклонной. Отрезок AC называется проекцией наклонной.

С помощью теоремы Пифагора можно показать, что если к прямой из одной точки проведены перпендикуляр и наклонные, то

• любая наклонная больше перпендикуляра,

• равные наклонные имеют равные проекции,

• из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. По определению

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему. Для угла (BAC) прямоугольного треугольника, изображенного на рис. 5.1.1, имеем

Так же как и косинус, синус угла и тангенс угла зависят только от величины угла.

4

Рисунок 5.1.4

Из данных определений получаем следующие соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника: если α – острый угол прямоугольного треугольника , то

• катет, противолежащий углу α , равен произведению гипотенузы на sin α;

• катет, прилежащий к углу α , равен произведению гипотенузы на cos α;

• катет, противолежащий углу α , равен произведению второго катета на tg α.