Необходимость. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность с центром в точке O.

По теореме 6.1 Аналогично

Достаточность. Пусть ABCD – данный четырехугольник и Существует окружность, проходящая одновременно через три точки A, B и D (теорема 6.5). Пусть точка C лежит внутри окружности. Прямая (BC) пересекает окружность в точке Тогда четырехугольник – вписанный в окружность и в соответствии с необходимым условием Но как внешний к углу Тогда что противоречит условию. Следовательно, C лежит на окружности, и данный четырехугольник вписанный. Аналогично рассматривается случай, если предположить, что точка C лежит вне окружности. Теорема доказана.

1

Рисунок 7.5.1. К теореме 7.13

Необходимость. Пусть четырехугольник ABCD описанный, и M, P, L, N – точки касания его сторон. Имеем BM = BN, CM = CP, DP = DL, AL = AN (отрезки касательных, проведенных из одной точки равны). Отсюда BM + MC + AL + LD = BN + AN + CP +PD.

Достаточность. Пусть в четырехугольнике ABCD выполнено равенство AB + CD = BC + AD. Биссектрисы углов (BAD) и (ABC) пересекаются в точке O. Точка O одинаково удалена от прямых AB, BC и AD . Пусть ω (O, r) – окружность, касающаяся сторон AB, BC и AD, а сторона CD пересекает окружность ω. Проведем касательную к окружности ω из точки C, и пусть она пересекает прямую AD в точке D₁. Тогда из необходимого условия – AB + CD₁ = BC + AD₁. Вычитая из данного равенства равенство в условиях теоремы получаем CD₁ – CD = AD₁ – AD или CD₁ – CD = DD₁, CD₁ = CD + DD₁. Мы пришли к противоречию, так как CD₁ < CD + DD₁. В случае, если прямая CD не пересекает окружность ω, доказательство аналогично. Теорема доказана.

2

Рисунок 7.5.2. К теореме 7.14