До ознакомления с доказательством теоремы 3.1 необходимо изучить раздел 4.1 и теоремы 4.1 и 4.2 главы 4. Докажем теорему так называемым методом от противного: предположим, что условие теоремы выполнено, а именно: прямые AB и CD образуют с секущей AC равные внутренние накрестлежащие углы, но вопреки утверждению теоремы прямая AB не паралельна прямой CD и, следовательно, они пересекаются в точке O, которая лежит в одной из полуплоскостей от прямой AC.

1

Рисунок 3.2.1. К теореме 3.1

Отложим от луча АC треугольник AO₁C, равный COА, так, что вершина O₁ лежит в другой, нежели точка O, полуплоскости. Из равенства этих треугольников следует, что , ; по условию: и тогда точки O, C, лежат на одной прямой, и, аналогично, из равенства по условию углов OCA и смежного к BAC следует, что точки O₁, A, O лежат также на одной прямой. Отсюда следует, что через две различные точки O и O₁ плоскости проходят две различные прямые AB и CD. Это противоречит аксиоме 1.2. Полученное противоречие доказывает теорему.