br>

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 10. Декартовы координаты

Назад Вперед
Назад Вперед

10.1. Основные понятия

Рассмотрим прямую a и произвольную точку O на ней. Точка O разбивает прямую на два взаимно дополнительных луча. Любой точке A, лежащей на одном из лучей, припишем (поставим в соответствие) число, равное OA – длине отрезка OA. Обозначим этот луч a+. Точке O припишем число ноль, а любой точке B, лежащей на луче a, дополнительном к лучу a+, припишем отрицательное число (–OB), где OB – длина отрезка OB. Любая прямая с фиксированной на ней точкой O, такая, что каждой ее точке приписано число в соответствии с указанным правилом, называется числовой прямой, а точка O – ее началом.

Свойство 10.1. 

Любой точке числовой прямой приписано единственное число, и наоборот, для любого действительного числа существует единственная на числовой прямой точка, к которой оно приписано.

Доказательство

Число x, приписанное точке A числовой прямой, называется ее координатой. Будем точку A числовой прямой, при необходимости указать ее координату x, записывать A (x).

В силу свойства 10.1 множество действительных чисел приписано точкам числовой прямой. Из алгебры мы знаем важное свойство действительных чисел – их упорядоченность, состоящее в том, что для любых двух разных чисел x1 и x2 можно сказать, что одно из них меньше другого, например, x1x2. Поэтому в силу определения координаты точки на числовой прямой естественный порядок действительных чисел задает порядок следования точек на числовой прямой. Этот факт можно сформулировать в виде следующего свойства.

Свойство 10.2. 

Для любых трех точек A (x1), B (x2) и C (x3) числовой прямой из условия x1x2x3 следует, что точка B лежит между точками A и C. Верно и обратное.

Чтобы показать направление возрастания координат точек на числовой прямой, ее помечают стрелочкой.

Доказательство

Числовую прямую с указанием направления возрастания координат точек на ней назовем числовой осью. Множество всех точек числовой оси с положительными координатами называется положительной полуосью.

Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости называется совокупность двух взаимно перпендикулярных числовых осей Ox и Oy с общей начальной точкой O. Числовые оси называются осями координат, а именно: ось Oxосью абсцисс, ось Oyосью ординат. Точка O называется началом координат. Пусть A – произвольная точка плоскости, отличная от начала координат, Ax и Ay – основания перпендикуляров, опущенных из точки A соответственно на оси абсцисс и ординат (в случае, если A лежит на одной из осей, например, абсцисс, под Ax понимается сама точка A, а Ay совпадает с точкой O). Абсциссой точки A называется координата x точки Ax на оси абсцисс, а ординатой точки A – координата y точки Ay на оси ординат. Координатами точки плоскости называются ее абсцисса и ордината, взятые в указанном порядке. Обе координаты точки O, начала координат, очевидно, равны нулю. При необходимости указать, что точка A имеет координаты x и y будем записывать A (xy). Плоскость с введенной декартовой системой координат называется плоскостью Oxy.

Обычно направления осей координат выбирают так, чтобы поворот оси абсцисс вокруг точки O на минимальный угол, при котором положительные полуоси осей абсцисс и ординат совпадают, совершался бы против часовой стрелки. Такая система координат называется правой. Здесь и далее мы считаем, что система координат правая.

Теорема 10.1. 

Каждой точке плоскости Oxy соответствует единственная упорядоченная пара чисел (xy) – ее координат, и наоборот, любая упорядоченная пара действительных чисел x и y определяет единственную точку плоскости, если считать x и y соответственно ее абсциссой и ординатой.

Доказательство

Фигура F задается данным уравнением в плоскости Oxy, если точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению.


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.