Рассмотрим прямую a и произвольную точку O на ней. Точка O разбивает прямую на два взаимно дополнительных луча. Любой точке A, лежащей на одном из лучей, припишем (поставим в соответствие) число, равное OA – длине отрезка OA. Обозначим этот луч a+. Точке O припишем число ноль, а любой точке B, лежащей на луче a–, дополнительном к лучу a+, припишем отрицательное число (–OB), где OB – длина отрезка OB. Любая прямая с фиксированной на ней точкой O, такая, что каждой ее точке приписано число в соответствии с указанным правилом, называется числовой прямой, а точка O – ее началом.
Свойство 10.1.
Любой точке числовой прямой приписано единственное число, и наоборот, для любого действительного числа существует единственная на числовой прямой точка, к которой оно приписано.
Пусть a – данная числовая прямая, а A – произвольная точка на ней. Если A совпадает с началом O, то по определению ей и только ей приписано число ноль. Пусть A не совпадает с точкой O. Тогда она принадлежит одному из лучей a+ или a– прямой a, на которые ее разбивает точка O. Пусть для определенности это луч a+. Припишем точке A число x, равное длине отрезка OA. Пусть A приписано еще какое-либо число x1 ≠ x. Если x1 ≤ 0, то это противоречит предположениям о несовпадении точки A с точкой O и принадлежности лучу a+. Если x1> 0, то по выбранному нами правилу соответствия положения точки на прямой числу x1 = OA. По аксиоме 2.4 x1 = x, что противоречит предположению. Следовательно, точке A данной числовой прямой соответствует единственное число.
Пусть задано число x. Для определенности положим x > 0. Отложим от точки O на луче a+ отрезок OA длиной OA = x. Предположим, что существует точка B, отличная от точки A, такая, что OB = x. По аксиоме 1.5 точки A и B совпадают, что противоречит предположению. Следовательно, данное число определяет единственную точку на числовой прямой, которой оно соответствует по указанному выше правилу. Свойство 10.1 доказано.
Число x, приписанное точке A числовой прямой, называется ее координатой. Будем точку A числовой прямой, при необходимости указать ее координату x, записывать A (x).
В силу свойства 10.1 множество действительных чисел приписано точкам числовой прямой. Из алгебры мы знаем важное свойство действительных чисел – их упорядоченность, состоящее в том, что для любых двух разных чисел x1 и x2 можно сказать, что одно из них меньше другого, например, x1< x2. Поэтому в силу определения координаты точки на числовой прямой естественный порядок действительных чисел задает порядок следования точек на числовой прямой. Этот факт можно сформулировать в виде следующего свойства.
Свойство 10.2.
Для любых трех точек A (x1), B (x2) и C (x3) числовой прямой из условия x1< x2< x3 следует, что точка Bлежит между точками A и C. Верно и обратное.
Чтобы показать направление возрастания координат точек на числовой прямой, ее помечают стрелочкой.
а) По определению x1 = –OA, x2 = –OB, x3 = –OC. По условию –OA < –OB < –OC или OA > OB > OC, причем точки A, B и C лежат на луче a– по одну сторону от точки O. Допустим, B не лежит между A и C. Тогда точки A и C лежат по одну сторону от B. Если точка O лежит по ту же сторону от B, что и точки A и C, то OB = OA + AB, откуда OB > OA, и мы приходим к противоречию. Если же точка O и точки A и C лежат по разные стороны от точки B, то OC = OB + BC и OC > OB, что снова противоречит условиям. Таким образом, в этом случае B лежит между A и C.
1
Рисунок 10.1.1
б) Из условия точки A и B лежат на a–, а точка C на a+. Пусть B не лежит между A и C. Тогда A и C лежат по одну сторону от точки B. При этом точка O лежит по ту же сторону от B, что и точки A и C, в противном случае, если предположить, что точка O лежит по другую сторону от точки B нежели точки A и C, то все три точки окажутся на одном из лучей a+ или a–, что противоречит условию. Тогда BO = BA + AO и BO > AO. Но по условию –AO < –BO или AO > BO, и мы приходим к противоречию. Следовательно, точка B лежит между A и C.
2
Рисунок 10.1.2
в) Из условия B и C лежат на a+, а точка A на a–. Пусть B не лежит между A и C. Тогда A и C лежат по одну сторону от точки B, причем точка O лежит на луче BA. Рис.10.1.3. Тогда OB = OC + BC и BO > OC. Но по условию 0 < x2 < x3 или OB < OC. Полученное противоречие доказывает, что B лежит между A и C.
3
Рисунок 10.1.3
г) Все три точки лежат на луче a+. По условию OA < OB < OC. Допустим, что B не лежит между A и C. Тогда A и C лежат по одну сторону от точки B. Пусть A и C лежат на отрезке OB. Рис.10.1.4. Тогда OB = OC + BC или OB > OC, и мы получаем противоречие условию. Пусть B лежит на отрезке OA. Тогда OB + BA = OA или OA > OB, что также противоречит условию задачи. Следовательно, точка B лежит между точками A и C. Свойство доказано.
4
Рисунок 10.1.4
Числовую прямую с указанием направления возрастания координат точек на ней назовем числовой осью. Множество всех точек числовой оси с положительными координатами называется положительной полуосью.
Прямоугольной декартовой системой координат на плоскости называется совокупность двух взаимно перпендикулярных числовых осей Ox и Oy с общей начальной точкой O. Числовые оси называются осями координат, а именно: ось Ox – осью абсцисс, ось Oy – осью ординат. Точка O называется началом координат. Пусть A – произвольная точка плоскости, отличная от начала координат, Ax и Ay – основания перпендикуляров, опущенных из точки A соответственно на оси абсцисс и ординат (в случае, если A лежит на одной из осей, например, абсцисс, под Ax понимается сама точка A, а Ay совпадает с точкой O). Абсциссой точкиA называется координата x точки Ax на оси абсцисс, а ординатой точкиA – координата y точки Ay на оси ординат. Координатами точки плоскости называются ее абсцисса и ордината, взятые в указанном порядке. Обе координаты точки O, начала координат, очевидно, равны нулю. При необходимости указать, что точка A имеет координаты x и y будем записывать A (x; y). Плоскость с введенной декартовой системой координат называется плоскостью Oxy.
Обычно направления осей координат выбирают так, чтобы поворот оси абсцисс вокруг точки O на минимальный угол, при котором положительные полуоси осей абсцисс и ординат совпадают, совершался бы против часовой стрелки. Такая система координат называется правой. Здесь и далее мы считаем, что система координат правая.
Теорема 10.1.
Каждой точке плоскости Oxy соответствует единственная упорядоченная пара чисел (x; y) – ее координат, и наоборот, любая упорядоченная пара действительных чисел x и y определяет единственную точку плоскости, если считать x и y соответственно ее абсциссой и ординатой.
Пусть A – произвольная, отличная от начала координат, точка плоскости Oxy. В соответствии с определением координат точки A опустим из этой точки перпендикуляры на оси координат. По теореме 4.10 это можно сделать единственным образом, и, следовательно, единственным образом определяются точки Axи Ay. На основании свойства 10.1 единственным образом определены координаты x и y точек Ax и Ay на осях абсцисс и ординат. Следовательно, каждой точке A плоскости Oxy единственным образом сопоставляется пара (x; y), где x – абсцисса, y – ордината.
Пусть теперь задана пара чисел x и y, где x трактуется как число, определяющее точку Ax на оси абсцисс, координатой которой она является, а y соответственно определяет точку Ayна оси ординат. По свойству 10.1 такие точки существуют и определяются единственным образом. Проведем через точки Ax и Ay прямые, перпендикулярные соответственно осям абсцисс и ординат. Такие прямые существуют и единственны по теореме 2.1. В результате оси координат и построенные прямые в пересечении образуют прямоугольник
поскольку по построению
и а по определению системы координат и, следовательно, и и
В результате построений мы получили единственную точку A, для которой заданные числа x и y являются ее координатами: x – абсциссой, y – ординатой – в силу построений и определения.
5
Рисунок 10.1.5
Фигура F задается данным уравнением в плоскостиOxy, если точка принадлежит фигуре F тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют данному уравнению.
поскольку по построению 
и 
а по определению системы координат 
и, следовательно, 
и 
и 
В результате построений мы получили единственную точку 