Утверждение теоремы следует из определения проекций отрезка и теоремы Пифагора.

A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂) – произвольные точки плоскости Oxy.

1

Рисунок 10.2.1

Пусть AB не параллелен оси Oy, т. е. x₁ ≠ x₂. Проведем через точки A, B, C прямые, параллельные оси Oy. Они пересекут ось Ox в точках A_x (x₁; 0), B_x (x₂; 0), C_x (x; 0). По теореме Фалеса точка C_x – середина отрезка [A_xB_x], то есть A_xC_x = C_xB_x или |x – x₁| = |x – x₂|. Отсюда либо x – x₁ = x – x₂, либо x – x₁ = –(x – x₂). Первое равенство невозможно, так как x₁ ≠ x₂, а второе дает Если , то и равенство остается верным. Ордината точки C находится аналогичными построениями и рассуждениями. Следовательно, Теорема доказана.

Пусть [AB] – заданный отрезок, где A (x₁; y₁), B (x₂; y₂). Предположим x₁ ≠ x₂, y₁ ≠ y₂. Тогда прямая AB не параллельна осям координат. Проведем через точки A, C и B прямые, параллельные оси ординат. Они пересекут ось абсцисс в точках соответственно. По теореме 4.13 имеем  или  или  Отсюда либо x – x₁ = λ (x₂ – x₁) или x = x₁ + λ (x₂ – x₁), либо x – x₁ = –λ (x₂ – x₁). Но если C – середина отрезка, то по теореме 10.3    и второе равенство преобразуется к равенству , что противоречит предположению.

Если x₁ = x₂, то x = x₁ = x₂ и равенство остается верным.

2

Рисунок 10.2.2

Аналогично доказывается, что ордината точки C удовлетворяет равенству y = y₁ + λ (y₂ – y₁). Пусть теперь точка C (x; y) – произвольная точка плоскости, координаты которой удовлетворяют заданным равенствам, где A (x₁; y₁) и B (x₂; y₂) – координаты двух разных заданных точек A и B соответственно в плоскости Oxy. Длина отрезка С учетом, что 0 < λ < 1, AC = λ · AB. Длина отрезка Таким образом AC + CB = λ · AB + (1 – λ) AB = AB. Отсюда на основании аксиомы 1.4 и теоремы 5.5 имеем, что точка C принадлежит отрезку AB. Теорема доказана.