2

Рисунок 4.5.2

Пусть Δ ABC и Δ A₁B₁C₁ – данные треугольники и AB = A₁B₁; AC = A₁C₁;

Построим треугольник CBD, равный треугольнику CBA, и треугольник равный треугольнику Треугольники ABD и равны по теореме 4.7 (третий признак). Отсюда С учетом условия и по первому признаку (теорема 4.1) треугольники Δ ABC и равны. Теорема доказана.

3

Рисунок 4.5.3

Пусть a – данная прямая и A – не лежащая на ней точка. Проведем через какую-либо точку прямой a перпендикулярную к ней прямую a₁ (см. теорему 2.1), а также через точку A прямую b, параллельную прямой a₁ (см. теорему 3.3). Она будет перпендикулярна к прямой a по следствию 4.1. Если B – точка пересечения прямых a и b, то отрезок AB – перпендикуляр, проведенный из точки A к прямой a.

Допустим, что существует другой перпендикуляр AC. Тогда у треугольника ABC будет два прямых угла, но это невозможно, так как сумма всех углов треугольника равна 180°. Теорема доказана.