Пользуясь формулой объема шара, можно получить формулу площади поверхности шара, то есть сферы. Рассмотрим произвольный многогранник, описанный вокруг сферы, имеющей радиус R. Тогда объем многогранника можно найти по формуле
где
– площадь поверхности многогранника. Будем увеличивать число граней многогранника так, что площадь каждой грани неограниченно уменьшается. Получим, что объем шара выражается формулой
Таким образом, площадь сферы выражается формулой
где R – радиус основания цилиндра, H – его высота.
Площадь поверхности конуса
где R – радиус основания конуса, l – длина его образующей.
Рассмотрим площадь поверхности сферы и шарового сегмента.
Определение 7.3.
Площадь поверхности шарового сегмента можно определить как предел отношения приращения объема соответствующего шарового сектора к приращению радиуса, когда приращение радиуса стремится к нулю:
1
Рисунок 7.4.1
На рис. 7.4.1 изображен полукруг радиуса R = OB = OA и половина плоского сегмента ACB. При вращении этого полукруга вокруг оси AA1 получается шар радиуса R, шаровой сектор с углом γ между осью и образующей, и шаровой сегмент. Высота H шарового сегмента есть:
H = AC = OA – OC = R – R cos γ = R (1 – cos γ).
Объем шарового сектора
Дадим радиусу R приращение ΔR. Тогда объем шарового сегмента получит приращение ΔV, где ΔV – объем фигуры, полученной при вращении заштрихованной на рис. 7.4.1 части полукольца.
В процессе приращения объема изменяется только R, а угол γ остается постоянным, поэтому S = V' (R) = 2πR2 (1 – cos γ) = 2πRH, где S – площадь сферической части поверхности шарового сегмента (или сектора). Принимая H = 2R, получаем площадь поверхности сферы