Глава 5. Тела вращения

5.2. Конус

Далее прямой круговой конус будем называть просто конусом. На чертеже 5.2.1 показан конус, образованный вследствии вращения прямоугольного треугольника POA вокруг катета PO, называемого осью конуса, P называется вершиной конуса. Круг с центром O и радиусом OA называется основанием конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с какой-нибудь точкой окружности основания, называется образующей конуса. На чертеже 5.2.1 отрезки PA, PB, PM, PN – образующие конуса. Радиус основания конуса называется радиусом конуса.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на его основание. Осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его высоту. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проходящему через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. При вращении образующей PA вокруг оси PO образуется боковая (коническая) поверхность конуса.

1

Рисунок 5.2.1

Разверткой боковой поверхности конуса (рис. 5.2.1) является круговой сектор. Обозначим через S_б и S_п соответственно площади боковой и полной поверхности конуса: где φ – угол при вершине развертки. Далее заметим, что PA · φ = 2πR. Следовательно, где R – радиус, а l – образующая конуса.

Sп = πRl + πR2 = πR(l + R).

Образующая и высота усеченного конуса являются частями образующей и высоты полного конуса.

Боковая поверхность усеченного конуса может быть найдена по формуле S_б = π(R + r)l, где R и r – радиусы оснований, l – образующая конуса.

Полная поверхность находится по формуле

Sп = π(Rl + rl + R2 + r2).