Глава 2. Параллельность в пространстве

2.4. Основы теории изображения фигур на плоскости

В основе изображения фигур на плоскости лежит параллельное проектирование.

Пусть дана плоскость α и прямая a, пересекающая плоскость α (чертеж 2.4.1). Построим проекцию точки A на плоскость α. Для этого проведем через точку A прямую b || α, b  α = A'. Точка A' называется параллельной проекцией точки A на плоскость α (обозначение: A' = Пр_αA). Плоскость α называют плоскостью проекций. Множество проекций всех точек фигуры Ф на плоскость α называется проекцией фигуры Ф на плоскость α. Если Ф' – проекция фигуры Ф на плоскость α, пишут Ф' = Пр_αФ.

Рассмотрим правила параллельного проектирования. Пусть прямые, которые проектируются, не параллельны направлению проектирования. Тогда для этих прямых и лежащих на них отрезков выполняются следующие свойства:

1. Проекцией прямой является прямая, проекцией отрезка – отрезок.

2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

3. Отношение длин проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению длин этих отрезков.

Построение изображений фигур основывается на следующих правилах.

1. Изображение треугольника. Произвольный треугольник можно параллельно спроектировать так, что его проекцией будет треугольник, подобный любому треугольнику. Следовательно, параллельной проекцией треугольника может быть произвольный (по форме) треугольник. Согласно свойству 3 проекцией медианы является медиана.

2. Изображение параллелограмма. По свойству 2 проекцией параллелограмма является параллелограмм или отрезок.

3. Изображение трапеции. Согласно свойству 2 проекцией трапеции является трапеция (или отрезок), у которой отношение оснований такое же, как у оригинала.

   Чертеж 2.4.2

4. Изображение параллелепипеда. Все грани параллелепипеда – параллелограммы, поэтому и на изображении параллелепипеда (чертеж 2.4.2) все грани – параллелограммы (или отрезки).

   Чертеж 2.4.3

5. Изображение призмы. На изображении призмы (чертеж 2.4.3), как и на оригинале, все боковые грани – параллелограммы (или отрезки).

   Чертеж 2.4.4

6. Изображение пирамиды. Изображением треугольной пирамиды является произвольный четырехугольник (чертеж 2.4.4) (или треугольник). На чертеже 2.4.5 и 2.4.6 изображены правильные треугольная и четырехугольная пирамиды.

Отдельный вид проектирования, когда a  α, называется ортогональным проектированием.