Глава 12. Преобразования

12.4. Симметрия и поворот

Точки X и   называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них – симметричной другой, если a является серединным перпендикуляром отрезка   (см. рис. 12.4.1). Очевидно, что если дана прямая a, то каждой точке X соответствует единственная точка  симметричная относительно a. Кроме того, множеством неподвижных точек преобразования симметрии относительно прямой a является эта прямая a.

Преобразованием симметрии относительно прямой a (или осевой симметрией с осью a) называется такое преобразование фигуры F (см. рис. 12.4.2), при котором каждой точке данной фигуры сопоставляется точка, симметричная ей относительно прямой a. Обозначим  a – ее ось симметрии. Фигура называется симметричной относительно прямой a, если фигура симметрична сама себе (см. рис. 12.4.3), то есть  

Замечание. Поскольку симметричность точек относительно прямой взаимна, то фигуры F и  называются симметричными относительно прямой a.

1 Рисунок 12.4.1. Симметрия точек относительно прямой

2 Рисунок 12.4.2. Симметрия треугольников

3 Рисунок 12.4.3. Симметрия фигур

Поворотом фигуры F вокруг центра O на данный угол φ (0° ≤ φ ≤ 180°) в данном направлении называется такое ее преобразование, при котором каждой точке X  F сопоставляется точка  так, что  и луч  откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота, а угол φ – углом поворота (рис. 12.4.4). Множеством неподвижных точек преобразования поворота является центр поворота.

4

Рисунок 12.4.4. Поворот фигуры

Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопоставляются точки  и   (рис. 12.4.5). 5 Рисунок 12.4.5. К теореме 12.11 Очевидно,   и   по теореме 11.6. Откуда   Из этих равенств имеем: где α = XOY,   Но по определению поворота   Кроме того,   и   Знаки «+» или «–» выбираются соответственно, если OY лежит между OX и   и если OY не лежит между   и OX. Но по определению   – углу поворота. Отсюда   или α = β. В итоге получаем   откуда   Следовательно, по определению поворот – движение. Теорема доказана.

Точки X и   называются симметричными относительно заданной точки O, если   а лучи OX и   являются дополнительными. Точка O считается симметричной самой себе.

Преобразованием симметрии (или центральной симметрией) относительно точки O называется такое преобразование фигуры F, при котором каждой ее точке X сопоставляется точка   симметричная относительно точки O. Обозначается   Фигура называется симметричной относительно точки O или центрально-симметричной, если она симметрична сама себе относительно точки O. Точка O называется центром симметрии.