Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 12. Преобразования

Назад Вперед
Назад Вперед

12.4. Симметрия и поворот

Точки X и   называются симметричными относительно прямой a, и каждая из них – симметричной другой, если a является серединным перпендикуляром отрезка   (см. рис. 12.4.1). Очевидно, что если дана прямая a, то каждой точке X соответствует единственная точка  симметричная относительно a. Кроме того, множеством неподвижных точек преобразования симметрии относительно прямой a является эта прямая a.

Преобразованием симметрии относительно прямой a (или осевой симметрией с осью a) называется такое преобразование фигуры F (см. рис. 12.4.2), при котором каждой точке данной фигуры сопоставляется точка, симметричная ей относительно прямой a. Обозначим  a – ее ось симметрии. Фигура называется симметричной относительно прямой a, если фигура симметрична сама себе (см. рис. 12.4.3), то есть  

Замечание. Поскольку симметричность точек относительно прямой взаимна, то фигуры F и  называются симметричными относительно прямой a.

1
Рисунок 12.4.1.
Симметрия точек относительно прямой
2
Рисунок 12.4.2.
Симметрия треугольников
3
Рисунок 12.4.3.
Симметрия фигур

Теорема 12.10. 

Преобразование симметрии относительно прямой является движением.

Доказательство

Поворотом фигуры F вокруг центра O на данный угол φ (0° ≤ φ ≤ 180°) в данном направлении называется такое ее преобразование, при котором каждой точке X  F сопоставляется точка  так, что  и луч  откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота, а угол φуглом поворота (рис. 12.4.4). Множеством неподвижных точек преобразования поворота является центр поворота.

4
Рисунок 12.4.4.
Поворот фигуры

Теорема 12.11. 

Поворот является движением.

Доказательство

Точки X и   называются симметричными относительно заданной точки O, если   а лучи OX и   являются дополнительными. Точка O считается симметричной самой себе.

Преобразованием симметрии (или центральной симметрией) относительно точки O называется такое преобразование фигуры F, при котором каждой ее точке X сопоставляется точка   симметричная относительно точки O. Обозначается   Фигура называется симметричной относительно точки O или центрально-симметричной, если она симметрична сама себе относительно точки O. Точка O называется центром симметрии.

Теорема 12.12. 

Центральная симметрия является движением.

Доказательство

Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.