Учебник. Непрерывность функций

Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если $\underset{x\to a}{lim}f\left(x\right)=f\left(a\right)\mathrm{.}$

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой точки a. Точка a называется точкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в точке a.

Чаще всего разрыв возникает по двум причинам:

1. функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы;
2. функция не определена в данной точке.

Эта функция непрерывна в точке A и разрывна в точке B

На рисунке показана функция $y=\frac{1}{x-1}\mathrm{.}$

Примером разрывной функции может служить функция зависимости плотности воды в окрестности 0 ºC. Примером непрерывной функции является зависимость площади квадрата от длины его стороны. Подчеркнем еще раз, что непрерывность функции рассматривается только на области ее определения.

Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка, то она называется непрерывной на этом промежутке. Большинство функций, изучаемых в элементарной математике, непрерывны на всей области определения. Таковыми являются линейная функция y = kx + b, квадратичная y = ax² + bx + c, показательная и тригонометрические функции.

Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x₀, то их сумма и произведение также непрерывны в этой точке, а функция $\frac{f}{g}$ непрерывна в ней при условии, что g (x₀) ≠ 0.

Отсюда следует, что рациональные функции непрерывны во всех тех точках, в которых их знаменатель не обращается в нуль.

Из непрерывности функции y = f (x) в точке x₀ и функции z = g (y) в точке y = f (x₀) следует непрерывность сложной функции g (f (x)) в точке x₀.

Функцию f (x) называют непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a; b) и, кроме того, непрерывна справа в точке a и слева в точке b.

Теорема Коши о нулях непрерывной функции. Только на одном из отрезков – [a₃; b₃] – имеется нуль функции, так как на этом отрезке функция непрерывна и принимает значения разных знаков на концах