Учебник. Показательная функция

В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что их отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией.

Пусть $x\in ℝ\mathrm{,}$  $a\ge 0\mathrm{,}$  $\left\{r_n\right\}$ – последовательность рациональных чисел, сходящихся к x. Определим число $a^x$ как предел $a^x=\underset{n\to \infty }{lim}{a}^{r_n}\mathrm{.}$ Показательной функцией с основанием a > 0 называется функция, принимающая значения $a^x\mathrm{, }$ $x\in ℝ\mathrm{.}$

График показательной функции $y=\mathrm{}{\mathrm{0,5}}^x\mathrm{.}$

Данный предел не зависит от выбора последовательности r_n, приводящей к числу x. Областью определения показательной функции является вся числовая ось. Эта функция непрерывна, монотонно возрастает при a > 1  $\mathrm{(}\underset{x\to \mathrm{+}\infty }{lim}{a}^x=\mathrm{+}\infty \mathrm{)}$ и монотонно убывает при 0 < a < 1  $\mathrm{(}\mathrm{).}$ Функция никогда не обращается в нуль, но имеет горизонтальную асимптоту  y = 0.

График экспоненциальной функции y = e^x.

Особое значение в приложениях имеет показательная функция, в качестве основания которой используют число e, определяемое как $\underset{n\to \infty }{lim}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\mathrm{.}$ Численно оно равно
e = 2,71828182845904523536...

Определённая так функция называется экспоненциальной или просто экспонентой и обозначается $y=e^x\equiv expx\mathrm{.}$

В заключение приведем пример из физики. Количество радиоактивного вещества, оставшегося к моменту t, описывается формулой $N=N_0ċ2^{-\frac{t}{T_{\text{1/2}}}}$.

Здесь $N_0$ – первоначальное количество вещества, $T_{1\mathrm{/}2}$ – период полураспада.