Учебник. Синус и косинус

Положение точек на координатной окружности можно задавать не только длиной дуги, но и декартовыми координатами. Построим декартову систему координат с центром в точке O, осью абсцисс, проходящей через начало отсчета A (0), и осью ординат, проходящей через точку $B\left(\frac{\pi }{2}\right)\mathrm{.}$ За единицу отсчета возьмем радиус этой окружности. Декартовы координаты точки M (x) единичной окружности называются косинусом и синусом числа x: M (x) = M (cos x; sin x).

Координатная окружность

Для $x\in \left(0\mathrm{; }\frac{\pi }{2}\right)$ определение синуса и косинуса совпадает с геометрическим определением этих понятий, заданных при помощи прямоугольного треугольника OPM. В этом случае $sinx=\frac{\mathrm{MP}}{\mathrm{OM}}\mathrm{,}$  $cosx=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{OM}}\mathrm{.}$

Так как координаты точек окружности единичного радиуса по модулю не превосходят 1, то |cos x| ≤ 1, |sin x| ≤ 1.

Таким образом, областью значений обеих функций является отрезок [–1; 1].

Ниже приведены значения косинуса и синуса для некоторых значений x:

x	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$
	0	30°	45°	60°	90°	180°	270°
sin x	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	0	–1
cos x	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	–1	0

Функция sin x обращается в нуль при x = πn, функция cos x обращается в нуль при $x=\pi \left(n+\frac{1}{2}\right)\mathrm{,}$   $n\in \mathbb{Z}\mathrm{.}$

Графики функций y = sin x и y = cos x.

Функции sin x и cos x непрерывны на всей области определения. Они периодичны; их основной период равен 2π.

Промежутки монотонности и знакопостоянства:

Функция	$\left[0\mathrm{; }\frac{\pi }{2}\right]$	$\left[\frac{\pi }{2}\mathrm{; }\pi \right]$	$\left[\pi \mathrm{; }\frac{3\pi }{2}\right]$	$\left[\frac{3\pi }{2}\mathrm{; }2\pi \right]$
sin x	Неотрицателен, возрастает от 0 до 1	Неотрицателен, убывает от 1 до 0	Неположителен, убывает от 0 до –1	Неположителен, возрастает от –1 до 0
cos x	Неотрицателен, убывает от 1 до 0	Неположителен, убывает от 0 до –1	Неположителен, возрастает от –1 до 0	Неотрицателен, возрастает от 0 до 1

Синус достигает максимума в точках $x_{max}=\frac{\pi }{2}+2\pi n$ и минимумы в точках $x_{min}=-\frac{\pi }{2}+2\pi n\mathrm{.}$ Косинус достигает максимума в точках x_max = 2πn, минимума – в точках x_min = π + 2πn.

Функция sin x нечетна, функция cos x четна:

cos (–x) = cos x sin (–x) = –sin x

Формулы приведения, позволяющие свести тригонометрические функции от любого аргумента к функциям от углов из промежутка $\left[0\mathrm{; }\frac{\pi }{2}\right]$ :

cos (x + π) = –cos x cos (π – x) = –cos x $cos\left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\mathrm{-}sinx$ $cos\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=sinx$ sin (x + π) = –sin x sin (π – x) = sin x $sin\left(x+\frac{\pi }{2}\right)=cosx$ $sin\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=cosx$

Основное тригонометрическое тождество (следствие теоремы Пифагора):

sin² x + cos² x = 1

Некоторые тригонометрические формулы приведены в таблице.

График функции y = sin x называется синусоидой, а функции y = cos x – косинусоидой. В обоих случаях достаточно построить графики на отрезке [0; 2π] или [–π; π], а затем периодически продолжать их на всю ось. Более того, достаточно построить график y = sin x на отрезке $\left[0\mathrm{; }\frac{\pi }{2}\right]\mathrm{,}$ отразить симметрично относительно оси $x=\frac{\pi }{2}\mathrm{,}$ а затем отразить получившийся график относительно точки (π; 0). График y = cos x после построения на отрезке $\left[0\mathrm{; }\frac{\pi }{2}\right]$ нужно отразить относительно точки $\left(\frac{\pi }{2}\mathrm{; }0\right)\mathrm{,}$ а затем получившийся график – относительно оси x = π. Заметим также, что косинусоида получается из синусоиды сдвигом на π/2 влево, поэтому, как правило, используется только термин «синусоида».

Математический маятник

Синус и косинус применяются во многих областях физики и математики. Например, с их помощью удобно описывать гармонические колебания, задаваемые формулами y = A cos (ωx + φ) или y = A sin (ωx + φ). Здесь A – амплитуда, ω – частота, φ – начальная фаза колебаний. Для построения графика гармонического колебания необходимо последовательно выполнить следующие операции над синусоидой:

• сжать к оси ординат с коэффициентом ω,
• перенести вдоль оси абсцисс на φ влево,
• растянуть от оси абсцисс в A раз.

Если мы имеем дело с явлением, в котором одновременно происходят несколько различных колебательных процессов с соизмеримыми периодами, то зависимость колеблющейся величины от времени остается периодической, но график этой зависимости в общем случае уже не является синусоидой. Любую из функций, описывающих эту зависимость, можно представить в виде суммы постоянной составляющей и гармонических колебаний с частотами, кратными $\omega =\frac{2\pi }{T}\mathrm{.}$

Колебания в электрической цепи