Учебник. Гомотетия

Пусть O – центр гомотетии, а точки A и B при гомотетии с коэффициентом k переходят в точки $A^{\mathrm{ \prime }}$   и $B^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$   Тогда $\stackrel{⟶}{O{A}^{\mathrm{ \prime }}}=k\stackrel{⟶}{OA}\mathrm{, }\stackrel{⟶}{O{B}^{\mathrm{ \prime }}}=k\stackrel{⟶}{OB}\mathrm{.}$   Поэтому $\stackrel{⟶}{A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}}\mathrm{.}$

По теореме 12.13 для любых двух точек A, B и их образов $A^{\mathrm{ \prime }}$  и $B^{\mathrm{ \prime }}$  при гомотетии верно, что $\stackrel{⟶}{A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}}\mathrm{.}$   Из этого равенства следует, что $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$   а это означает, что гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэффициентом $\left|k\right|\mathrm{.}$  

Пусть $F^{\mathrm{ \prime }}$  получена из фигуры F подобием с коэффициентом k (см. рисунок 12.6.2).

К теореме 12.15

Гомотетией с коэффициентом k (и любым центром) переведем фигуру F в фигуру F₁. Тогда любым точкам X, Y фигуры F ставят в соответствие такие точки X₁, Y₁, что X₁Y₁ = kXY. Но и для точек $X^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$   $Y^{\mathrm{ \prime }}$   фигуры $F^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$   соответствующих точкам X, Y, также $X^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$   Поэтому $X^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$   Это равенство верно для любых точек $X_1$, $Y_1$ фигуры $F_1$. Следовательно, фигуры $F_1$ и $F^{\mathrm{ \prime }}$ можно некоторым движением перевести в фигуру $F^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$  

Пусть гомотетия переводит концы отрезка AB в точки $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$  $B^{\mathrm{ \prime }}$  (см. рисунок 12.6.3).

К теореме 12.16

Точка X ∈ AB тогда и только тогда, когда $\stackrel{⟶}{AX}\mathrm{,}$   где 0 ≤ λ ≤ 1 (см. теорему 10.4). При этом, если λ возрастает от 0 до 1, то X пробегает отрезок AB от A к B.

По свойству гомотетии $\stackrel{⟶}{A^{\mathrm{ \prime }}{X}^{\mathrm{ \prime }}}$   и $\stackrel{⟶}{A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}}\mathrm{.}$   Из этих равенств $\stackrel{⟶}{AX}\mathrm{,}$   $\stackrel{⟶}{AB}\mathrm{.}$   Подставляя эти значения в равенство $\stackrel{⟶}{AX}\mathrm{,}$   получим $\frac{1}{k}\mathrm{,}$   откуда $\stackrel{⟶}{A^{\mathrm{ \prime }}{X}^{\mathrm{ \prime }}}\mathrm{.}$   А это равенство означает, что когда число λ возрастает от 0 до 1, точка $X^{\mathrm{ \prime }}$  пробегает отрезок $A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$  

Пусть A, B, C – заданные точки, а $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$  $B^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$  $C^{\mathrm{ \prime }}$  – их образы при гомотетии f с коэффициентом k. Пусть $\stackrel{⟶}{AB}=\stackrel{⟶}{b}\mathrm{, }\stackrel{⟶}{AC}=\stackrel{⟶}{c}\mathrm{, }\stackrel{⟶}{A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}}=\stackrel{⟶}{b^{\mathrm{ \prime }}}\mathrm{, }\stackrel{⟶}{A^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}}=\stackrel{⟶}{c^{\mathrm{ \prime }}}\mathrm{.}$   Тогда $\mathrm{\angle }$  и $\mathrm{\angle }$   (см. рис. 12.6.4).

К теореме 12.17

По основному свойству гомотетии $\stackrel{⟶}{b^{\mathrm{ \prime }}}\mathrm{.}$   Отсюда получаем, что $\left|\stackrel{⟶}{b^{\mathrm{ \prime }}}\right|\mathrm{.}$   Кроме того, $\stackrel{⟶}{b^{\mathrm{ \prime }}}\mathrm{.}$   Тогда $cos\mathrm{.}$   Из равенства косинусов и следует равенство углов. Теорема доказана.

Пусть дан треугольник ABC, и гомотетия переводит точки A, B, C в точки $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$   Тогда ΔABC переходит в $\Delta \mathrm{,}$  так как отрезок AB переходит в отрезок $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$  AC – в $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$  BC – в $B^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{.}$   Из теоремы 12.13 следует, что $\stackrel{⟶}{A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}}\mathrm{,}$   $\stackrel{⟶}{A^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}}\mathrm{,}$    $\stackrel{⟶}{B^{\mathrm{ \prime }}{C}^{\mathrm{ \prime }}}\mathrm{.}$   Отсюда $A^{\mathrm{ \prime }}\mathrm{,}$  и окончательно $\frac{A^{\mathrm{ \prime }}{B}^{\mathrm{ \prime }}}{AB}\mathrm{.}$   Равенство углов треугольника вытекает из теоремы 12.17. Теорема доказана.

Пусть фигура P подобием f с коэффициентом k₁ переводится в фигуру P₁, а затем фигура P₁ подобием g с коэффициентом k₂ переводится в фигуру P₂ (рис. 12.6.5).

Пусть точкам X, Y фигуры P соответствуют точки X₁, Y₁ фигуры P₁. Тогда X₁Y₁ = kXY. Пусть далее точкам X₁, Y₁ фигуры P₁ соответствуют точки X₂, Y₂ фигуры P₂. Тогда X₂Y₂ = k₂X₁Y₁. Тем самым точкам X, Y фигуры P соответствуют точки X₂, Y₂ фигуры P₂, и из приведенных равенств следует, что X₂Y₂ = k₁k₂XY. В силу произвольности точек X и Y фигуры P это означает, что преобразование g ˆ f – подобие с коэффициентом k₁k₂.

Композиция подобий