9.3. Декартовы координаты в пространстве

Глава 9. Координаты и векторы в пространстве

9.3. Декартовы координаты в пространстве

Рассмотрим три взаимно перпендикулярные прямые x, y, z, пересекающиеся в одной точке O (чертеж 9.3.1).

Чертеж 9.3.1.

Декартовы координаты в пространстве

Проведем через каждую пару этих прямых плоскость. Плоскость, проходящая через прямые x и y, называется плоскостью xy. Две другие плоскости называются, соответственно, плоскостями xz и yz.

Определение 9.11.

Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат), точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xy, xz и yz – координатными плоскостями. Точка O разбивает каждую координатную ось на две полупрямые, которые называются положительной и отрицательной полуосями.

Рассмотрим теперь произвольную точку A и проведем через нее плоскость, параллельную плоскости yz (чертеж 9.3.2).

Чертеж 9.3.2.

Координаты точки

Пусть эта плоскость пересекает ось x в некоторой точке A_x.

Определение 9.12.

Координатой точки A по оси x будем называть число, равное по абсолютной величине длине отрезка OA_x: положительное, если точка A лежит на положительной полуоси x, и отрицательное, если она лежит на отрицательной полуоси.

Если же точка A_x совпадет точкой O, то полагаем по определению, что x = 0. Аналогично можно определить координаты y и z точки A. Координаты точки A записываются в скобках рядом с названием этой точки: A (x; y; z).

Зададим теперь в пространстве прямоугольную систему координат.

Определение 9.13.

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси. Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается единичный вектор, направленный вдоль оси y – вдоль оси z – Вектора называются координатными векторами.

По своему построению эти векторы некомпланарны, а значит, любой вектор можно разложить по координатным векторам:

Кроме того, отметим, что по уже доказанному коэффициенты разложения определяются единственным образом. Эти коэффициенты и называются координатами вектора в данной системе координат.

Следующие утверждения доказываются аналогично их планиметрическим аналогам.

Координаты нулевого вектора равны нулю.
Координаты равных векторов соответственно равны.

Пусть тогда
Координаты вектора суммы двух векторов равны сумме соответствующих координат этих векторов.

Пусть тогда
Координаты вектора разности двух векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов.

Пусть тогда
Координаты вектора произведения данного вектора на число равны произведениям соответствующих координат этого вектора на данное число.

Пусть тогда