Векторы называются компланарными, если имеются равные им вектора, параллельные одной плоскости.
Любые два вектора компланарны. Любые три вектора, среди которых есть два коллинеарных, компланарны.
1
Рисунок 9.2.1
На рисунке 9.2.1 векторы
и
компланарны, так как, если отложить от точки C вектор
то все три вектора
и
окажутся лежащими в одной плоскости. Векторы
и
не компланарны, так как вектор
не лежит в плоскости ACD.
Теорема 9.4. Теорема о разложении по базису в плоскости.
Пусть векторы
и
не коллинеарны, тогда для любого вектора
лежащего в одной плоскости с
и
существует единственная пара чисел α и β, такая, что
Эта теорема верна и для того случая, когда векторы
и
параллельны одной плоскости.
Отложим от произвольной точки векторы
и
Спроектируем конец вектора
на прямые, задаваемые векторами
и
в направлении, параллельном другому вектору (рис. 9.2.2). Обозначим вектора с началами в точке O и с концами в полученных точках соответственно
и
Так как эти вектора лежат на тех же прямых, что и ,
и
то по теореме 9.3 существуют такие числа α и β, что
При этом по правилу параллелограмма
Значит,
Докажем теперь, что такая пара чисел единственна. Предположим, что нашлось два разложения вектора
по векторам
и
то есть нашлись две пары чисел
и
таких, что
и справедливы разложения:
и
Вычитая из первого равенства второе, получаем
Отсюда, ввиду того что
следует,
что
то есть
что по условию не так. Полученное противоречие означает, что неравенство
невозможно, а значит
Аналогично доказывается, что
Теорема доказана.
Теорема 9.5.
Если векторы
и ,
отложенные от одной точки, не лежат в одной плоскости, то равенство
Действительно, из того, что
следует, что
Значит, вектор
лежит в одной плоскости с векторами
и
что неверно. Поэтому x = 0. По той же причине y = 0 и z = 0.
Эта теорема позволяет от одного векторного равенства переходить к системе числовых равенств.
Теорема 9.6. Теорема о разложении по базису в пространстве.
Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.
Эта теорема доказывается аналогично теореме 9.4, и поэтому мы не будем на ней подробно останавливаться.