Задачи с решениями

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD (см. чертеж) проведено сечение через сторону AB и середину бокового ребра PC. В каком соотношении это сечение делит объем пирамиды?

Пусть E – середина бокового ребра PC правильной четырехугольной пирамиды PABCD. Проведем сечение пирамиды плоскостью ABE. Отрезок BE – след секущей плоскости на грани PBC. Поскольку прямая AB параллельна грани PDC, секущая плоскость оставляет на грани PDC след, параллельный AB. Проводим отрезок EF || CD. Трапеция ABEF и есть сечение, разбивающее пирамиду PABCD на два многогранника: четырехугольную пирамиды PABEF и призматоид FEABCD. Пусть сторона основания пирамиды PABCD равна a, а ее высота H. Найдем объем призматоида по теореме Симпсона: S₁ = a², S₂ = 0. Среднее сечение призматоида – прямоугольник MNTQ:    – площадь среднего сечения. Обозначим через V₁ объем призматоида, тогда

где V – объем пирамиды PABCD. Следовательно, объем пирамиды PABEF равен  и данное сечение делит объем пирамиды в соотношении 3 : 5.

Ответ: 3 : 5.

8 из 8