Основанием пирамиды является правильный треугольник со стороной a, одна из боковых граней перпендикулярна плоскости основания, а две другие образуют с плоскостью основания угол γ. Найти объем пирамиды.
Решение
Шаг 1
Изображаем данную пирамиду и маркируем рисунок. По условию AB = BC = CA = a. Грань PAB перпендикулярна плоскости основания. Поэтому высота PO пирамиды лежит в грани PAB. Возникает вопрос: где находится данный угол γ?
Шаг 2
Проведем перпендикуляр из точки O к стороне BC – отрезок OK(OK || AD, где AD – медиана, биссектриса и высота ΔABC). По теореме о трех перпендикулярах PKBC. Значит, PKO – угол между гранью PBC и плоскостью основания. По условию PKO = γ(0° < γ < 90°). Аналогично проводим медиану BE и отрезок OM || BE(OMAC). Тогда PMO = γ.
Шаг 3
Известно, что объем пирамиды V находится по формуле:
(1), где S0 – площадь основания, H – высота пирамиды.
– площадь правильного треугольника со стороной a. Остается найти высоту.
Шаг 4
Треугольники POK и POM равны, как прямоугольные треугольники с общим катетом PO и равными острыми углами. Значит, OK = OM. Легко видеть, что треугольники BOK и AOM равны, а значит,
Шаг 5
Из прямоугольного треугольника POK имеем: H = PO = OK·tg γ (2).
Поскольку O – середина стороны AB, то OK – средняя линия ΔABD. Значит,
Задачи с решениями
7 из 8
(1), где 
– площадь правильного треугольника со стороной 
