В выпуклом четырехугольнике ABCD сумма углов при стороне AD равна 90°. Известно, что AB = CD. Доказать, что середины диагоналей и середины сторон BC и AD являются вершинами квадрата.
Решение
Шаг 1
Построим четырехугольник ABCD.
Шаг 2
Построим четырехугольник MNPQ, вершины которого являются серединами диагоналей и сторон BC и AD четырехугольника ABCD.
Шаг 3
Луч DC пересекает прямую AB в точке T, причем DTA = 90°, т.к. TAD + TDA = 90° по условию.
Шаг 4
MN – средняя линия треугольника BCD, PQ – средняя линия треугольника ACD. Поэтому
и MN || QP. Значит, MNPQ – параллелограмм. Легко заметить также, что
Но AB = CD, поэтому MQ = NP = MN = QP и MNPQ – ромб. Углы QMN и ATD имеют соответственно параллельные стороны, и поскольку ATD = 90°, то и QMN = 90°. Таким образом, четырехугольник MNPQ – это ромб с прямым углом или (что тоже) квадрат.
Задачи с решениями
6 из 6
и 
Но 
