Задачи с решениями

Отрезки AB и CD лежат на разных прямых и имеют общую середину O. Пусть M и N – середины отрезков AС и BD. Докажите, что O – середина отрезка MN.

Соединим точку O с точками M и N (см. рисунок). Пусть DON = α, NOB = β, COB = γ. Oчевидно, α + β + γ = 180°, так как COD – развернутый. Треугольник AOС равен треугольнику BOD по двум сторонам и углу между ними. Действительно, по условию AO = OB, OD = OC, а DOB = AOC как вертикальные. Следовательно, CAO = DBO, OCA = ODB, AC = BD. Отсюда  Рассмотрим треугольники OMС и OND. У них стороны OD = OC по условию, MC = ND и ODN = ODB = OCA = OCM. Поэтому ΔOMC = ΔOND по двум сторонам и углу между ними. Тогда DON = COM = α. Следовательно, величина угла MON равна MOC + γ + β = α + β + γ = 180°, и угол MON – развернутый. Это значит, что точки M, O и N лежат на одной прямой. Кроме того, из равенства треугольников OMC и OND следует OM = ON. Следовательно, O – середина отрезка MN. Задача решена.

1 из 6