Задачи с решениями

Угол ABC – тупой, следовательно это угол при вершине и AB = BC.

Построим треугольник ABC и точку M внутри него так, чтобы MAB = 10°, MBA = 20°, MBC = 80°.

Пусть BO – перпендикуляр к стороне AC, проведенный из вершины B. Построим точку N, симметричную точке M относительно отрезка BO.

BOMN, значит BO – биссектриса угла MON. Ясно, что ABO = 50°, а MBO = ABO – MBA = 50° – 20° = 30°. Значит, MBN = 60°, и треугольник MNB равносторонний.

Треугольники ABM и CBN равны, поскольку AB = CB, MB = NB и ABM = CBN = 20°. Значит, BCN = BAM = 10°.

Заметим, что CBM = CBA – MBA = 100° – 20° = 80°.

Таким образом, CMB = 180° – CBM – BCM = 180° – 80° – 10° = 90°. CMBM. Прямая CM проходит через точку N (а треугольник MNB равносторонний), значит, BM = MM. Выходит, что в треугольнике CBM высота CM является и медианой. Значит, этот треугольник CBM – равнобедренный, и BMC = CBM = 80°.