Точки X и
называются симметричными относительно прямойa, и каждая из них – симметричной другой, если a является серединным перпендикуляром отрезка
(см. рис. 12.4.1). Очевидно, что если дана прямая a, то каждой точке X соответствует единственная точка
симметричная относительно a. Кроме того, множеством неподвижных точек преобразования симметрии относительно прямой a является эта прямая a.
Преобразованием симметрии относительно прямойa (или осевой симметрией с осью a) называется такое преобразование фигуры F (см. рис. 12.4.2), при котором каждой точке данной фигуры сопоставляется точка, симметричная ей относительно прямой a. Обозначим
a – ее ось симметрии. Фигура называется симметричной относительно прямойa, если фигура симметрична сама себе (см. рис. 12.4.3), то есть
Замечание. Поскольку симметричность точек относительно прямой взаимна, то фигуры F и
называются симметричными относительно прямой a.
1
Рисунок 12.4.1.
Симметрия точек относительно прямой
2
Рисунок 12.4.2.
Симметрия треугольников
3
Рисунок 12.4.3.
Симметрия фигур
Теорема 12.10.
Преобразование симметрии относительно прямой является движением.
Примем данную прямую за ось OY декартовой системы координат. Пусть произвольная точка
переходит в точку
Из определения симметрии относительно прямой следует, что у точек A и
равные ординаты и противоположные абсциссы:
Рассмотрим произвольные точки
и
которые перейдут в точки
и
Имеем:
Отсюда видно, что
Это значит, что преобразование симметрии относительно прямой есть движение. Теорема доказана.
Поворотом фигуры F вокруг центра O на данный угол
φ (0° ≤ φ ≤ 180°) в данном направлении называется такое ее преобразование, при котором каждой точке XF сопоставляется точка
так, что
и луч
откладывается от луча OX в заданном направлении. Точка O называется центром поворота, а угол φ – углом поворота (рис. 12.4.4). Множеством неподвижных точек преобразования поворота является центр поворота.
Пусть при повороте вокруг точки O точкам X и Y сопоставляются точки
и
(рис. 12.4.5).
5
Рисунок 12.4.5.
К теореме 12.11
Очевидно,
и
по теореме 11.6. Откуда
Из этих равенств имеем:
где α = XOY,
Но по определению поворота
Кроме того,
и
Знаки «+» или «–» выбираются соответственно, если OY лежит между OX и
и если OY не лежит между
и OX. Но по определению
– углу поворота. Отсюда
или α = β. В итоге получаем
откуда
Следовательно, по определению поворот – движение. Теорема доказана.
Точки X и
называются симметричными относительно заданной точкиO, если
а лучи OX и
являются дополнительными. Точка O считается симметричной самой себе.
Преобразованием симметрии (или центральной симметрией) относительно точкиO называется такое преобразование фигуры F, при котором каждой ее точке X сопоставляется точка
симметричная относительно точки O. Обозначается
Фигура называется симметричной относительно точкиO или центрально-симметричной, если она симметрична сама себе относительно точки O. Точка O называется центром симметрии.