Введем в плоскости систему координат OXY, и пусть   и   – заданные точки. Определим параллельный перенос f равенствами   где    Тогда данный параллельный перенос действительно переводит точку A в   так как
Предположим, что существует отличный от f параллельный перенос φ, такой, что   По определению φ:
Из последних равенств   т. е.   что совпадает с f, а это противоречит предположению. Теорема доказана.

Действительно, две произвольные точки   переходят при параллельном переносе в точки   Поэтому    Отсюда   Таким образом, параллельный перенос сохраняет расстояние, а значит, является движением. Теорема доказана.

Пусть f – движение, переводящее точку A в точку   Пусть   Выберем произвольную отличную от A точку B, и пусть   По условию   По теореме 12.8 имеем   или, следовательно,   Отсюда   Ввиду произвольности выбора точки B теорема доказана.