 |
 |
Вектором называется направленный отрезок. Если у отрезка
|
|
|
На рис. 11.1.1 изображен обычный отрезок 
на рис. 11.1.3 – вектор 
Векторы 
и 
называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи 
и 
называются противоположно направленными. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
|
| Рисунок 11.1.4. Коллинеарные векторы
|
Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора 
обозначим 
Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине. На рис. 11.1.5 вектор 
а вектор 
|
| Рисунок 11.1.5. Равенство векторов
|
Углом между ненулевыми векторами 
и 
называется угол 
и 
называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами равен нулю.
Нулевым вектором 
называется вектор, у которого начало совпадает с концом. Направление нулевого вектора не определено, а его модуль считается равным нулю. Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице.
Замечание 11.1
Любую пару векторов, один из которых равен нулевому вектору будем считать коллинеарными.
Два вектора, сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены.
Свойства равенства векторов:
каждый вектор равен самому себе;
если вектор 
равен вектору 
то 
равен 
два вектора, равные третьему, равны.
Пусть даны два вектора 
и 
не лежащие на одной прямой. Соединим начала 
и наоборот, если 
то четырехугольник
Если 
то 
Пусть на плоскости 
– начало вектора 
а точка 
– его конец.
Координатами вектора 
называются числа 
Для обозначения того, что вектор 
имеет координаты 
и 
используют запись 
Длина отрезка 
равна 
и равна по определению абсолютной величине вектора 
Радиус-вектором 
точки
Если два вектора равны, то равны и их соответствующие координаты.
Если у двух векторов соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.
|
|
 |
и 
сонаправлены с вектором 
Докажем, что 
сонаправлен с 
сонаправлен с 
Следовательно, прямые 
сонаправлен с 
Следовательно, прямые 
такая что лучи 
и 
тогда по следствию 4.1 
Тогда из двух полуплоскостей, которые образуются при разбиении плоскости прямыми 
и 
сонаправлены. Теорема доказана.
и 
сонаправлены. Значит, 
Обратно: пусть 
и прямые 
Отсюда по 
и 
Если они не лежат на одной прямой, то согласно теореме 11.2 
и 
лежат на одной прямой. Введем на этой прямой координату 
– координаты соответственно точек 
означает, что для этих координат выполнено равенство 
Отсюда следует, что 
, а это означает, что 
и 
означает сонаправленность векторов 
и 
и 
– равные векторы, где 
– концы отрезков 
и 
не лежат на одной прямой, то из равенства векторов следует, что четырехугольник 
лежат на одной прямой 
и вектор 
на ней, равный данным. Пусть 
Так как 
и 
равны и лежат на параллельных прямых, из предыдущего пункта 
С другой стороны 
и аналогично 
Сравнивая равенства, получаем требуемое 
и 
– два различных вектора, причем 
и 
Пусть 
координаты соответственно точек 
Из этих равенств следует, что 
и 
не лежат на одной прямой, то последние равенства означают, что диагонали параллелограмма 
и 
лежат на одной прямой 
и вектор 
на ней, равный 
Пусть 
– координаты соответственно точек 
Так как векторы 
и 
не лежат на одной прямой, и их координаты равны, то по доказанному в предыдущем пункте 
С учетом того, что 
по выбору, по свойству 3 равенства векторов два вектора 
и 
равные третьему вектору 
равны, т. е. 
Теорема доказана.