Глава 10. Декартовы координаты

10.10. Парабола и ее свойства

В § 7 мы получили уравнение фигуры, каждая точка которой равноудалена от данной точки A и данной прямой l, и назвали ее параболой. В выбранной системе координат ее уравнение имело вид
Сделаем поворот системы координат на угол 90°, воспользовавшись формулами поворота
Запишем уравнение параболы в новой, канонической системе координат:
Это уравнение называется каноническим уравнением параболы. В дальнейшем знак «штрих» при переменных для удобства мы будем опускать.

Приведем следующие свойства параболы:

Ось симметрии называется осью параболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Вершина параболы в канонической системе координат находится в начале координат.

При замене системы координат заданная в условии точка A с координатами  будет иметь новые координаты, определяемые из соотношений
Таким образом, точка A будет иметь в канонической системе координаты  Данную точку  называют фокусом параболы и обозначают буквой F.

Прямая l, задаваемая в старой системе координат уравнением  в новой системе координат будет иметь вид  или, опуская штриховку,

Данная прямая в канонической системе координат называется директрисой параболы. Расстояние от нее до фокуса называется фокальным параметром параболы. Очевидно, он равен p. Эксцентриситет параболы по определению полагают равным единице, то есть ε = k = 1.

Теперь свойство, через которое мы определили параболу, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: любая точка параболы равноудалена от ее фокуса и директрисы.

Вид параболы в канонической системе координат и расположение ее директрисы приведены на рис. 10.10.1.

1

Рисунок 10.10.1