Задачи с решениями

Вычислить расстояние от данной точки A(x₀; y₀) плоскости OXY до прямой ax + by + c = 0, если:
а) (x₀; y₀) = (1; 2); a = 4, b = 2, c = 2;
б) (x₀; y₀) = (1; 2); a = 4, b = 0, c = 2;
в) (x₀; y₀) = (1; 2); a = 0, b = 2, c = 2.

Проведем через точку A(x₀; y₀) прямую, перпендикулярную к данной прямой ax + by + c = 0. Уравнение этой прямой можно записать в виде (см. предыдущую задачу) –bx + ay + c₁= 0. Так как точка A(x₀; y₀) принадлежит этой прямой, то –bx₀ + ay₀ + c₁ = 0, и c₁ = +(bx₀ – ay₀), и окончательно –b(x – x₀) + a(y – y₀) = 0. Решение системы   дает точку A(x; y) пересечения прямых (см. задачу 11.1):   Тогда по теореме 11.2 расстояние от данной точки до данной прямой находится по формуле   В нашем случае мы имеем   Это формула для вычисления расстояния от точки (x₀; y₀) до прямой ax + by + c = 0. Рассмотрим решение исходной задачи.

а)

б)

в)

5 из 24