Задачи с решениями

Найти вид уравнения прямой, перпендикулярной данной.

Пусть ax + by + c = 0 – уравнение данной прямой, а a₁x + b₁y + c₁ = 0 – уравнение прямой, перпендикулярной к данной.

а) Пусть b ≠ 0, a ≠ 0. Тогда b₁ ≠ 0, a₁ ≠ 0. В противном случае, если b₁ = 0, прямая a₁x + c₁ = 0 параллельна оси Oy, если a₁ = 0, прямая b₁y + c₁ = 0 параллельна оси OX. В обоих случаях нарушается условие перпендикулярности прямых. Уравнение прямых в этом случае можно переписать в виде y = kx + d;   где   Как известно, k = tg α,            Поэтому и уравнение прямой, перпендикулярной к данной, имеет вид   или  и

б) b = 0. Как известно, данное уравнение ax + c = 0 параллельно оси OY. Следовательно, ортогональная прямая параллельна оси OX и ее уравнение имеет вид b₁y + c₁ = 0, b₁ ≠ 0. Умножив члены уравнения на число   имеем ay + c₂ = 0.

в) a = 0. Аналогично получаем уравнение исходной прямой by + c = 0, ортогональная ей прямая имеет уравнение a₁x + c₁ = 0. a₁ ≠ 0 и после умножения на  получим –bx + c₂ = 0. Следовательно, пункты б) и в) получаются как частный случай пункта а).

4 из 24