Площадь криволинейной трапеции, ограниченной неотрицательной функцией f (x), осью абсцисс и прямыми x = a, x = b, определяется как
Модель 3.11.
Площадь криволинейной трапеции
Площадь фигуры, ограниченной функцией f (x), пересекающей ось абсцисс, определяется формулой
где xi – нули функции. Другими словами, чтобы вычислить площадь этой фигуры, нужно разбить отрезок [a; b] нулями функции f (x) на части, проинтегрировать функцию f по каждому из получившихся промежутков знакопостоянства, сложить отдельно интегралы по отрезкам, на которых функция f принимает разные знаки, и вычесть из первого второе.
2. Площадь криволинейного сектора.
1
Рисунок 3.4.4.1.
Площадь криволинейного сектора
Рассмотрим кривую ρ = ρ (φ) в полярной системе координат, где ρ (φ) – непрерывная и неотрицательная на [α; β] функция. Фигура, ограниченная кривой ρ (φ) и лучами φ = α, φ = β, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна
3. Объем тела вращения.
Модель 3.12.
Объем тела вращения
Пусть тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной на отрезке [a; b] функцией f (x). Его объем выражается формулой
2
Рисунок 3.4.4.2.
К задаче о нахождении объема тела по площади поперечного сечения
Пусть тело заключено между плоскостями x = a и x = b, а площадь его сечения плоскостью, проходящей через точку x, – непрерывная на отрезке [a; b] функция σ (x). Тогда его объем равен
4. Длина дуги кривой.
Пусть задана кривая
Тогда длина ее участка, ограниченного значениями t = α и t = β выражается формулой
3
Рисунок 3.4.4.3.
Длина дуги плоской кривой
В частности, длина плоской кривой, задаваемой на координатной плоскости OXY уравнением y = f (x), a ≤ x ≤ b, выражается формулой
5. Площадь поверхности вращения.
Модель 3.13.
Площадь поверхности вращения
Пусть поверхность задается вращением относительно оси OX графика функции y = f (x), a ≤ x ≤ b, и функция f имеет непрерывную производную на этом отрезке. Тогда площадь поверхности вращения определяется формулой
