Глава 2. Элементарные функции и их графики

2.2. Квадратичная функция

2.2.3. График квадратичной функции

График функции при a ≠ 0 называется параболой. Рассмотрим сначала функцию Областью определения этой функции являются все Решив уравнение  получим x = 0. Итак, единственный нуль этой функции x = 0. Функция является четной (для любых     ось OY является ее осью симметрии.

При a > 0 функция убывает на x < 0 и возрастает на x > 0. Точка x = 0 по определению является минимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток [0; +∞).

При a < 0 функция возрастает на x < 0 и убывает на x > 0. Точка x = 0 является максимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток (–∞; 0].

Модель 2.6. Построение параболы

График функции f (x) = ax² + bx + c легко построить из графика функции y = x² геометрическими преобразованиями, используя формулу

Для этого нужно растянуть график y = x² в a раз от оси OX, при необходимости отразив его относительно оси абсцисс, а затем сместить получившийся график на влево и на вниз (если какое-либо из этих чисел меньше нуля, то соответствующее смещение нужно производить в противоположную сторону).

1

Рисунок 2.2.3.1. Парабола является одним из конических сечений

Точка является точкой экстремума и называется вершиной параболы. Если a > 0, то в этой точке достигается минимум функции, и Если a < 0, то в этой точке достигается максимум функции, и

Функция f (x) = ax² + bx + c при b = 0 является четной, а в общем случае уже не является ни четной, ни нечетной.

Модель 2.8. Построение параболы по трем точкам