Глава 2. Элементарные функции и их графики

2.3. Тригонометрические функции

2.3.1. Координатная окружность

Тригонометрическими называются функции вида y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x и их комбинации.

Модель 2.9. Координатная окружность

1

Рисунок 2.3.1.1. Одной и той же точке можно сопоставить длину дуги, пробегаемой как в положительном, так и в отрицательном направлении

Назовем координатной окружность единичного радиуса, на который выбраны начало отсчета A и направление отсчета (обычно в качестве положительного выбирают направление обхода против часовой стрелки). Произвольному числу ставится в соответствие точка на окружности M (x) такая, что длина дуги, соединяющей начало отсчета A с этой точкой, равняется x. Если же число x принадлежит промежутку    то ему в соответствие ставится точка M (x), длина дуги до которой равняется x – 2πn. Таким образом, всем числам x + 2πn, геометрически ставится в соответствие одна и та же точка M (x) координатной окружности.

График 2.3.1.1. Симметрия точек на координатной окружности

Точки B (x) и C (–x) симметричны относительно оси OA, где O – центр окружности. Точки B (x) и D (π + x) симметричны относительно центра окружности O.

Центральный угол α (выраженный в радианах) определяется как Таким образом, длина дуги, содержащей центральный угол α, равна

l = αR.

Отношение длины окружности C к ее диаметру постоянно и равно Число π – трансцендентное, π = 3,14159... Используя число π, можно записать выражение для длины окружности:

Площадь сектора равна а площадь всего круга (α = 2π) равна S = πR².