Глава 4. Комбинаторика

4.3.

4.3.6.

Пусть случайная величина принимает дискретные значения. К таким величинам, например, относятся количество очков при бросании кубика или количество угаданных номеров в лотерее «Спортлото». Вспомним, что закон распределения случайной величины образуют множество всевозможных её значений и вероятности, с которыми эта случайная величина принимает свои значения. Законы распределения могут быть вычислены исходя из логики процесса или измерены, если у нас есть достаточно большая статистическая выборка. Но для некоторых часто встречающихся типов процессов можно не выводить распределение, а использовать стандартное похожее. Рассмотрим наиболее известные из них.

1. Геометрическое распределение

Будем бросать кубик до тех пор, пока не выпадет 1. Посчитаем, с какой вероятностью это случится ровно за N бросков.

Для первого броска (N = 1), очевидно, вероятность успеха p (1) = 1/6.

Для второго (N = 2) это вероятность успеха во втором броске и неудачи в первом:

Аналогично, для третьего броска

Вообще, для n-го броска где p – вероятность успеха в единичном испытании.

	Закон распределения где p – вероятность успеха в единичном испытании, называется геометрическим.

Математическое ожидание и дисперсия для этого распределения:

В нашем примере означает, что, в среднем, за шесть бросков 1 очко выпадет ровно 1 раз.

1

Рисунок 4.3.6.1. Геометрическое распределение при различных p и n

2. Биномиальное распределение, часто возникающее в случайных процессах, можно получить так. Бросаем монету N раз и считаем вероятность того, что k раз из N выпала решка (будем обозначать это событие буквой P, а противоложное ему – выпадение герба – буквой О). Подумаем, какие распределения в этом случае можно считать равновероятными. Допустим, мы кинули монету три раза, при этом могли возникнуть такие комбинации:

    ООО;
    ООР; ОРО; РОО;
    ОРР; РРО; РОР;
    РРР.

Эти комбинации равновероятны.

Видно, что вероятность того, что событие «Р» наступит k раз из N, равна произведению:

• вероятности того, что k раз случилось событие «Р» – (p (Р))^k. В нашем случае p = 1/2;
• вероятности того, что N – k раз случилось событие «не Р». В нашем случае это событие «О» – (p (О))^N – k;
• числу перестановок

Таким образом,

Распределение, описываемое формулой
называется биномиальным.

	Биномиальное распределение вероятности описывает процессы, в каждом из которых событие A может появиться с вероятностью p. Тогда вероятность того, что событие A наступит ровно k раз, определяется формулой

Математическое ожидание такого распределения легко посчитать из простых соображений. Поскольку результаты бросков кубика независимы, мы можем представить N бросков как N повторений одного броска. Напомним, что для N бросков где – число успехов, а – вероятность того, что произойдет k успехов. Тогда математическое ожидание и дисперсия суммы испытаний равны сумме математических ожиданий и дисперсий одиночных событий:

M = N p,

D = N p (1 – p).

2

Рисунок 4.3.6.2. Биномиальное распределение при различных параметрах

Пример 3

Из пункта A по сети дорог идёт группа из N человек. На каждом перекрёстке, начиная с A, пришедшие туда люди с равной вероятностью поворачивают в направлении l и в направлении m. Сколько человек придёт в пункты B, C, D, …, I соответственно?

3

Рисунок 4.3.6.3

Показать решение

Допустим, что каждый человек уже повернул n раз. Все люди, вышедшие из пункта A, оказались в n-й строке. Обозначим число людей в каждой группе где k – номер группы, если их считать слева (см. рис. 4.3.6.3). 4 Рисунок 4.3.6.4 Заметим, что в пункт (k, n) пришла примерно половина от числа людей из пунктов (k, n – 1) и (k – 1, n – 1), или: Выписав на соответствующих перекрёстках, мы получим треугольник Паскаля, коэффициенты которого равны Значит, распределение вероятностей в k-й группе n-й строки – биномиальное c p = 0,5: В нашем случае n = 6, и вероятность того, что человек окажется в k-м пункте, считая слева, равна Если бы люди поворачивали вправо или влево с разной вероятностью, например, направо с вероятностью r, а налево – с вероятностью l = 1 – r, то распределение выглядело бы так:

Биномиальное распределение связано с задачами о случайных блужданиях и перемешиваниях.

Пример 4

Пьяница случайным образом делает шаг вперёд или назад. Оцените, за какое количество шагов ему удастся добраться до дома, находящегося на расстоянии l от начала пути, при длине шага d?

Показать решение

Математическое ожидание положения человека в этой задаче равно нулю. Попасть домой человек сможет только случайно: если отклонится от начальной точки слишком далеко – как раз на расстояние до дома. Поэтому нам нужно найти не распределение вероятностей, а, фактически, среднеквадратичное отклонение длины пройденного пути за n шагов. Перемещения за n и n + 1 шагов связаны соотношением Ln + 1 = Ln ± d. Возведём эту величину в квадрат и усредним: Последний член просто равен математическому ожиданию, то есть нулю: а (величина d не является случайной). Тогда Это формула арифметической прогрессии, значит, Отсюда средний пройденный за n шагов путь Как уже было сказано выше, откуда Видно, что для того, чтобы преодолеть расстояние в 10 шагов, несчастному придётся сделать 100 шагов. Если до дома 100 шагов, то придётся прошагать целых 10000 раз.

Задача о пьянице, в свою очередь, отсылает нас к важному классу задач о диффузии и случайному перемешиванию сыпучих тел. Для каждого реального процесса распределение вероятностей выводится отдельно, но биномиальное распределение используется очень часто. Что будет, если увеличить количество испытаний N и шагать в одну сторону с очень маленькой вероятностью p, а в другую – с вероятностью, близкой к единице? Например, предположим, что Np → λ. При этих предположениях биномиальное распределение переходит в распределение Пуассона.

3. Распределение Пуассона имеет следующую плотность вероятности:

Биномиальное распределение описывается формулой Введём величину Тогда Перейдём в этой формуле к пределу при N → ∞. Первая квадратная скобка при этом будет стремиться к 1 (так как каждый её множитель стремится к 1), а вторая – к e–1, что следует из определения замечательного предела e. Наконец, последняя скобка (в показателе степени) тоже будет стремиться к единице. Таким образом,

Величина p_k (λ) соответствует вероятности ровно k удачных исходов при условии, что среднее число удачных исходов составляет λ.

Этим распределением проще пользоваться, чем биномиальным. Параметр λ (напомним, что он определяется пределом Np → λ) здесь равен числу, которое соответствует математическому ожиданию величины x:

Mx = λ,

Dx = λ.

5

Рисунок 4.3.6.5. Распределение Пуассона при различных λ и n

	Закон Пуассона действует всякий раз, когда имеется много независимых испытаний N, а вероятность p каждого испытания так мала, что среднее число событий λ = pN с данным исходом невелико.

Распределением Пуассона описываются процессы типа количества телефонных вызовов за время t, вероятности аварий, оно же используется в теории страхования.