Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения?
Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу – математическому ожиданию Mx. В данном случае Mx = 3,5.
Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях раз выпало 1 очко, раз – 2 очка и так далее. Тогда
При N → ∞ количество исходов, в которых выпало одно очко,
Аналогично,
Отсюда
Модель 4.5.
Игральные кости
Предположим теперь, что мы знаем закон распределения случайной величины x, то есть знаем, что случайная величина x может принимать значения x1, x2, ..., xk с вероятностями p1, p2, ..., pk.
Математическое ожиданиеMx случайной величины x равно
Математическое ожидание случайной величины часто обозначается как <x>. Записи <x> и Mx эквивалентны.
Пример 1
Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере.
Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть задан следующей таблицей:
1
2
3
0
0,2
0,8
Значит,
Ответ. 2,8.
Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают.
Медианой случайной величины называют число x1/2 такое, что p (x < x1/2) = 1/2.
Другими словами, вероятность p1 того, что случайная величина x окажется меньшей x1/2, и вероятность p2 того, что случайная величина x окажется большей x1/2, одинаковы и равны 1/2. Медиана определяется однозначно не для всех распределений.
Вернёмся к случайной величине x, которая может принимать значения x1, x2, ..., xk с вероятностями p1, p2, ..., pk.
Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
Используя вероятности pi того, что величина x принимает значения xi, эту формулу можно переписать следующим образом:
Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины:
Пример 2
В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x.
Найти распределение вероятности числа очков, выпавших на кубике с первого броска, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение.
Выпадение любой грани равновероятно, так что распределение будет выглядеть так:
1
2
3
4
5
6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Математическое ожидание Mx = 3,5 (см. пример в начале параграфа).
С вероятностью 1/2 случайная величина x ≤ 3. С такой же вероятностью x ≥ 4. Таким образом, медианой случайной величины является любое число из интервала (3; 4). Обычно в качестве медианы указывают среднее значение из этого интервала: x1/2 = 3,5. В нашем случае медиана совпала с математическим ожиданием, в других распределениях это не так.
Дисперсия:
Среднеквадратичное отклонение
Видно, что отклонение величины от среднего значения очень велико.
Свойства математического ожидания
Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий:
Mx + y = Mx + My.
Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Mx · y = Mx · My.
Пример 4
Найти математическое ожидание суммы и произведения очков, выпавшей на двух кубиках.
Случайный процесс можно представить как сумму единичных бросков. Для единичного броска
Mx = 3,5, Dx = 2,9,
Пусть за N бросков на кубике выпало y очков. Тогда
My = 3,5 N,
Если z – среднее количество очков, выпавших на кубике за N бросков:
то:
Этот результат верен не только для бросков кубика. Он во многих случаях определяет точность измерения математического ожидания опытным путем. Видно, что при увеличении количества измерений N разброс значений вокруг среднего, то есть среднеквадратичное отклонение, уменьшается пропорционально
Дисперсия случайной величины связана с математическим ожиданием квадрата этой случайной величины следующим соотношением:
Найдём математические ожидания обеих частей этого равенства. По определению,
Математическое же ожидание правой части равенства по свойству математических ожиданий равно
раз выпало 1 очко, 
раз – 2 очка и так далее. Тогда 
При 
Аналогично, 
Отсюда
Видно, что отклонение величины от среднего значения очень велико.
то:
Математическое же ожидание правой части равенства по свойству математических ожиданий равно 