 |
 |
 |
 |
 |
|
||
 |
|
 |
Многочлен от двух переменных вида 
является симметрической функцией. В самом деле,
 |
Функция 
является симметрической. В самом деле,
 |
Оказывается, справедлива замечательная теорема о симметрических многочленах.
| Теорема 1.
(о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от двух переменных представим в виде функции от двух основных симметрических многочленов
|
Другими словами, для любого симметрического многочлена
 |
Доказательство этого факта хотя и доступно школьнику, но далеко выходит за рамки школьного курса, поэтому мы приведём лишь примеры, которые иллюстрируют применение этой теоремы.
Функция 
может быть преобразована следующим образом:
 |
Функция 
может быть преобразована следующим образом:
 |
Аналогично, симметрическая функция трёх переменных определяется как функция, которая не изменяет своего значения при произвольных перестановках своих аргументов, то есть
 |
Для симметрических многочленов трёх переменных справедлива точно такая же теорема, как и для многочленов двух переменных, а именно:
| Теорема 2.
(о симметрических многочленах) Любой симметрический многочлен от трёх переменных представим в виде функции от трёх основных симметрических многочленов:
|
Другими словами, для любого симметрического многочлена
 |
Применим эту теорему для упрощения систем уравнений.
|
|
 |
называется 
Поскольку 
а из второго уравнения системы следует, что 
то 
Левая часть второго уравнения перепишется так: 
Относительно 
тогда система принимает вид:
Вспомним теорему о рациональных корнях многочленов (
Таким образом, по теореме Виета, 
и 
являются корнями квадратного уравнения 
Отсюда 
и 
Значит, 
