Глава 2. Алгебраические выражения

2.1.

Назад Вперед
Назад Вперед

2.1.4.

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

 

Многочлен ax + b, где  ab − числа, x − переменная, называется многочленом первой степени.

 

Многочлен где  abc − числа, x − переменная, называется многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией).

 

Многочлен где  abcd − числа, x − переменная, называется многочленом третьей степени.

 

Вообще, многочлен
 Pn(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + ... + a1x + a0,
где   − числа, x − переменная, называется многочленом n-ной степени. Традиционно называется старшим коэффициентом, а свободным членом многочлена.

В дальнейшем мы будем рассматривать многочлены с действительными коэффициентами.

Модель 2.1. Степенная функция
 

Действительное число a называется корнем многочлена Pn (x), если Pn (a) = 0.

Корень многочлена первой степени легко угадывается: В самом деле:

Корни квадратного трехчлена можно найти, если воспользоваться так называемым методом выделения полного квадрата. Его суть проще всего увидеть на примере. Выполним следующие преобразования квадратного трехчлена:
Выражение D = b2 – 4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Продолжим преобразования в предположении, что D ≥ 0:
Воспользуемся теперь формулой сокращённого умножения для разности квадратов.

Обозначим и Тогда последнее разложение квадратного трехчлена имеет вид:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Отсюда непосредственно видно, что числа x1 и x2 являются корнями квадратного трехчлена ax2 + bx + c. Полученная формула ввиду своей важности называется формулой разложения квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трехчлен раскладывается на множители:
ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2),
где и   в том случае, если D ≥ 0.

Если D < 0, то такое разложение на множители невозможно и квадратный трехчлен ax2 + bx + c не имеет действительных корней.

Итак, установлено, что если D ≥ 0, то квадратный трехчлен имеет два корня (при D = 0 они совпадают). Если же D < 0, то трехчлен не имеет действительных корней.

Пример 1

Разложить на множители квадратный трехчлен x2 – 4x + 3.

Показать решение

 

Несмотря на то, что в дальнейшем, рассматривая многочлены, мы будем искать только действительные корни, сделаем в этом разделе небольшое отступление и покажем, что у квадратного трехчлена при любом D существуют два, в общем случае комплексных, корня. Аналогично, у любого многочлена степени n на множестве комплексных чисел есть n корней, некоторые из них могут совпадать.

Пользуясь понятием комплексного числа как расширения понятия числа действительного, можно найти корни квадратного трехчлена и при D < 0. Итак, на множестве комплексных чисел квадратное уравнение:
всегда имеет два комплексных корня:

Очевидно, что при условии, что abc – действительные числа, корнями квадратного трехчлена могут быть:

  • два различных действительных числа;
  • одно действительное число;
  • сопряженные комплексные числа.

Пример 2

Решите уравнение

Показать решение

Для того чтобы установить одну важную теорему, касающуюся квадратного трехчлена, вычислим следующие комбинации корней этой функции:

Итак, нами доказана следующая теорема, принадлежащая великому французскому математику Виету.

Теорема Виета

Если квадратный трёхчлен где имеет корни, то справедливы следующие соотношения:

Пример 3

Пусть и − корни квадратичной функции Найти, чему равно значение выражения

Показать решение


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий
Сдать жилье
Поможем получить жильё. Вернём дополнительные метры. Гарантии
azbuka.ru

 

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ "Облако знаний".