Учебник. Производные элементарных функций




Производные элементарных функций

Найдем производные некоторых уже известных нам элементарных функций.

а) Тригонометрические функции.

sinx = lim Δx0 sin x+Δx -sinx Δx =2 lim Δx0 cos x+ Δx 2 sin Δx 2 Δx .

По свойству предела произведения sinx = lim Δx0 cos x+ Δx 2 lim Δx0 sin Δx 2 Δx /2 =cosx (мы воспользовались первым замечательным пределом   lim x0 sinx x =1 ). Итак, sinx =cosx .

Аналогичные рассуждения приводят к выводу, что cosx =-sin x .

Производные тангенса и котангенса можно найти как производные частного: tgx = 1 cos 2  x ,  ctgx =- 1 sin 2  x .

б) Обратные тригонометрические функции.

Рассмотрим функцию y = arcsin x. На отрезке [ - π 2   π 2 ] обратной к ней функцией будет x = sin y. Продифференцируем эту функцию по x, считая y функцией от x: 1=cosyċ y или y = 1 cosy = 1 1- x 2  (на интервале ( - π 2 ; π 2 ) ). Аналогично выводятся формулы и для других обратных функций. Получаем: arcsinx = 1 1- x 2 ,  arccosx =- 1 1- x 2 , arctgx = 1 1+ x 2 ,  arcctgx =- 1 1+ x 2 .

в) Степенная и показательная функции. Рассмотрим функцию y = ax. Для нее lim Δx0 a x+Δx - a x Δx = a x lim Δx0 a Δx -1 Δx .   Но  lim x0 a x -1 x =lna (это можно доказать, пользуясь определением числа e). Таким образом, если a > 0, a ≠ 1, то

a x = a x lna .

В частности, e x = e x .

Это и обуславливает частое использование основания e в математике и физике. В некоторых учебниках экспоненциальная функция даже вводится как функция, определенная на всей числовой оси, для которой f' (x) = f (x) и f (0) = 1.

lim Δx0 log a  x+Δx - log a x Δx = lim Δx0 log a 1+ Δx x Δx x 1 x .   Но  lim x0 log a 1+x x = 1 lna (еще одно следствие замечательного предела lim x 1+ 1 x x =e ). Таким образом, если a > 0, a ≠ 1, то log a  x = 1 xlna .

В частности, lnx = 1 x .

При x > 0 для любого α    x α = e αlnx = α x e αlnx = α x x α . Таким образом, x α =α x α-1 .

Обобщим результаты вычислений в таблице.





 

Купить спирт изопропиловый
В продаже - изопропиловый спирт, цены ниже! Неликвидные остатки
payalniki.ru
© Физикон, 1999-2015