Учебник. Показательная функция




Показательная функция

В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что их отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией.

Пусть x ,   a0 ,   { r n } – последовательность рациональных чисел, сходящихся к x. Определим число a x как предел a x = lim n a r n . Показательной функцией с основанием a > 0 называется функция, принимающая значения a x ,   x .

График показательной функции y= 0,5 x .

Данный предел не зависит от выбора последовательности rn, приводящей к числу x. Областью определения показательной функции является вся числовая ось. Эта функция непрерывна, монотонно возрастает при a > 1  ( lim x+ a x =+ ) и монотонно убывает при 0 < a < 1  ( lim x+ a x =0 ). Функция никогда не обращается в нуль, но имеет горизонтальную асимптоту  y = 0.

График экспоненциальной функции y = ex.

Особое значение в приложениях имеет показательная функция, в качестве основания которой используют число e, определяемое как lim n 1+ 1 n n . Численно оно равно
e = 2,71828182845904523536...

Определённая так функция называется экспоненциальной или просто экспонентой и обозначается y= e x expx .

Радиоактивный распад

В заключение приведем пример из физики. Количество радиоактивного вещества, оставшегося к моменту t, описывается формулой N= N 0 ċ 2 - t T 1/2 .

Здесь N 0  – первоначальное количество вещества, T 1/2 – период полураспада.





 

© Физикон, 1999-2015