Учебник. Предел функции




Предел функции

Понятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию.

Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε.

Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности { x n } такой, что x n a, n, сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции { f( x n ) } сходится к числу A.

Предел функции y = x2 при x → 2.
Предел функции y= x 2 x  при x → 0.

Если A – предел функции в точке a, то пишут, что lim xa f x =A .

Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.

Предел функции y = {x (x ≠ 0); 1 (x = 0)} при x → 0 равен 0.

Предел функции y= x 2 в точке a = 0 равен 0: lim x0 x 2 =0 . Предел функции y= x 2 x в точке a = 0 также равен 0, хотя эта функция не существует в этой точке (ее знаменатель обращается в нуль). Предел функции y={ x , если x0; 1 , если x=0. в точке a = 0 равен 0, хотя значение функции в этой точке f (0) = 1.

Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный.

Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x a-δ a выполняется неравенство | f( x ) - A 1 |<ε .  

Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x a a+δ выполняется неравенство | f( x ) - A 2 |<ε .  

Предел слева обозначается lim xa-0 f x , предел справа – lim xa+0 f x . Эти пределы характеризуют поведение функции слева и справа от точки a. Их часто называют односторонними пределами. В обозначении односторонних пределов при x → 0 обычно опускают первый нуль: lim x+0 f( x ) и lim x-0 f( x ) . Так, для функции y=signx={ -1,  если x<0; 0,  если x=0; 1,  если x>0. lim x0-0 f x lim x-0 f x =-1 ,   lim x+0 f x =+1 .

Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел: lim xa f x = .

Так, функция y= 1 x 2 имеет в точке x = 0 бесконечный предел lim x0 1 x 2 = . Часто различают пределы, равные +∞ и –∞. Так, lim x-0 1 x =- , lim x+0 1 x =+ .

Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A: lim x+ f x =A .

Аналогично формулируется определение предела при x, стремящемся к минус бесконечности: lim x- f x . В качестве примера приведем функцию y= 1 x , которая стремится на бесконечности к нулю: lim x- 1 x = lim x+ 1 x =0 .

Наконец, запись lim x+ f x =+ означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство f (x) > ε. Запись lim x+ f x =- означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство f (x) < –ε. Запись lim x- f x =- означает, что для любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x < –δ выполняется неравенство f (x) < –ε.

Если функция f (x) имеет конечный предел в точке a, то существует окрестность точки a, в которой функция f ограничена ( возможно, что в самой точке a функция не определена). При этом, если A ≠ 0, то найдется окрестность точки a, в которой (быть может, за исключением самой точки a) значения функции f имеют тот же знак, что и число A.

Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, выполняются неравенства g (x) ≤ f (x) ≤ h (x), и если lim xa g x = lim xa h x =A , то существует lim xa f x =A .

Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, справедливо неравенство f (x) < g (x), и если lim xa f x =A ,   lim xa g x =B , то A ≤ B.

Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем lim xa f x =A ,   lim xa g x =B , то

  • lim xa f x +g x =A+B ,
  • lim xa f x g x =AB ,
  • lim xa f x g x = A B , если B ≠ 0 и если g (x) ≠ 0 в δ-окрестности точки a.

Из существования пределов f (x) в точке a и g (y) в точке f (a) следует существование предела сложной функции g (f (x)) в точке a.

Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы: lim x0 sinx x =1 .
lim x 1+ 1 x x =e .

Для доказательства первого предела используется неравенство cosx< sinx x <1 , верное для x - π 2  0 0  π 2 (неравенство sin x < x следует из определения синуса при рассмотрении единичной окружности, а для доказательства неравенства x < tg x необходимо нарисовать ось тангенсов). Для доказательства второго предела используются теорема о пределе монотонной функции и монотонная ограниченная последовательность { 1+ 1 n n } .

Другие важные пределы (при a > 0, a ≠ 1): lim x0 log a 1+x x = 1 lna lim x0 a x -1 x =lna следуют из замечательных пределов и свойства предела обратной функции.

Функция α (x) называется бесконечно малой при x → a (здесь a – конечное число или ∞), если lim xa α x =0 . Функция x = 0 является бесконечно малой функцией в каждой точке. Примерами бесконечно малых (на бесконечности) функций являются зависимость силы тяжести от расстояния до притягивающего центра или зависимость скорости движения по параболической орбите от времени.

  • Сумма конечного числа бесконечно малых при x → a функций есть бесконечно малая функция.
  • Произведение бесконечно малой при x → a функции на ограниченную в некоторой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при x → a функция.

Если в некоторой окрестности a определены функции f (x), g (x), h (x) такие, что f (x) = g (x) h (x), lim xa h x =1 , то функции f (x) и g (x) называются эквивалентными при x → a: f (x) ~ g (x).

Так, функции y 1 =x  и y 2 =sinx эквивалентны при x → 0, так как y 2 =x sinx x , а второй множитель стремится к 1 при x → 0. Другие примеры эквивалентных функций при x → 0:

sin x ~ x

tg x ~ x

arcsin x ~ x

arctg x ~ x

ex – 1 ~ x

ln (1 + x) ~ x

(1 + x)α – 1 ~ α x.

При вычислении пределов функций можно использовать понятие эквивалентности.





 

Эвакуатор
эвакуатор
evakuator-24.od.ua
© Физикон, 1999-2015