Учебник. Теорема Симпсона




Теорема Симпсона

Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом.

Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы.

Объем V призматоида можно найти по формуле V= 1 6 H( S 1 +4S+ S 2 ) , где H – его высота (расстояние между плоскостями оснований), S1 и S2 – площади оснований, S – площадь среднего сечения (сечения, параллельного плоскостям оснований и делящего высоту пополам).

На чертеже 6.3.1 изображен призматоид ABCDEFGHK. Среднее сечение – выпуклый многоугольник, стороны которого являются средними линиями боковых граней. Выберем в среднем сечении произвольную точку O и соединим ее со всеми вершинами призматоида. Мы получаем несколько пирамид с общей вершиной O. Пирамида OABCDE имеет объем V 1 = 1 6 H S 1 ; пирамида OFGHK имеет объем V 2 = 1 6 H S 2 . Основания других пирамид принадлежат боковым граням призматоида. Можно считать основания этих пирамид треугольниками, так как четырехугольную грань можно разделить диагональю на два треугольника. Рассмотрим, например, пирамиду OBCG. Поскольку S GMN = 1 4 S GBC , то V OBCG =4 V OGMN =4ċ 1 6 Hċ S OMN .

Сложив объемы всех таких пирамид, получаем V 3 = 1 6 Hċ4S .

Далее имеем V= V 1 + V 2 + V 3 = 1 6 H( S 1 +4S+ S 2 ) ,

что и требовалось доказать.





 

© Физикон, 1999-2015