Учебник. Пирамида




Пирамида

Многогранник, у которого одна грань, называемая основанием, – многоугольник, а другие грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Грани, отличные от основания, называются боковыми. Общая вершина боковых граней называется вершиной пирамиды.

Ребра, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми. Обозначая пирамиду, сначала называют ее вершину, а затем – вершины основания.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H. В зависимости от числа сторон основания пирамида называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т. д.

Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания.

Сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину и диагональ основания, называется диагональным сечением.

Если все боковые ребра пирамиды равны, то ее высота проходит через центр круга, описанного вокруг основания.

Пусть PO – высота пирамиды (чертеж 4.7.1). Поскольку все боковые ребра равны, то равны их проекции на плоскость основания, то есть OA = OB = OC = .... Итак, O – центр круга, описанного вокруг основания.

Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, а высота проходит внутри пирамиды, то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга.

Пусть PO – высота пирамиды (чертеж 4.7.2). Проведем перпендикуляры из точки O на стороны основания. Пусть ON и OM – два таких перпендикуляра; PMO и PNO – линейные углы двугранных углов при ребрах AC и BC основания пирамиды. По условию, ∠PMO = ∠PNO, следовательно ΔPMO = ΔPNO и OM = ON. Аналогично докажем, что точка O одинаково удалена от всех сторон основания. Следовательно, она является центром вписанного в основание круга.

Если все боковые грани наклонены к плоскости основания под одинаковым углом φ, то S б = S cosφ . Эта формула справедлива, в частности, для правильной пирамиды.

Апофемой боковой грани правильной пирамиды называется высота этой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Для правильной пирамиды справедливы формулы:

  • S б = 1 2 Pa , где a – апофема боковой грани, P – периметр основания.
  • S б = n 2 b 2 sinα , где n – число сторон основания, b – боковое ребро, α – плоский угол при вершине пирамиды.

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной плоскости основания, (чертеж 4.7.3), то:

  • боковые ребра и высота делятся этой плоскостью на пропорциональные отрезки в отношении P A 1 PA = P O 1 PO =k ;

  • площади сечения и основания пирамиды относятся как квадраты их расстояний до вершины пирамиды: S 1 S 2 = ( P O 1 PO ) 2 = k 2 .





 

x-pharaon.com
Играю по ссылке бонус код бесплатные
x-pharaon.com
© Физикон, 1999-2015