br>

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 12. Преобразования

Назад Вперед
Назад Вперед

12.8. Инверсия

Определим преобразование точек плоскости следующим образом. Пусть задана окружность   Каждой точке A плоскости, отличной от O, поставим в соответствие точку  на луче OA, такую, что

Теорема 12.23. 

Соответствие между точками плоскости, заданное соотношением (1), является взаимно однозначным преобразованием всех точек плоскости, за исключением точки O – центра окружности

Доказательство

Это преобразование называется преобразованием инверсии или просто инверсией относительно окружности  Обозначим ее  Образ точки O при инверсии не определен. Точка O называется центром инверсии, а Rрадиусом инверсии.

В определении инверсии выражение (1) симметрично относительно сомножителей, что позволяет трактовать точку A как образ точки  при инверсии  Сформулируем на этой основе следующее свойство инверсии.

Теорема 12.24. 

Если точке A при инверсии  соответствует точка  то точке  соответствует точка A, то есть если  то верно

Точки A и A1 называют взаимно обратными точками.

Доказательство

Очевидно, что если  то OA = R, и из (1) имеем  то есть  и, следовательно,

Теорема 12.25. 

При инверсии относительно  каждая точка окружности  неподвижна.

В остальных случаях из пары связанных инверсий точек одна лежит внутри окружности  другая – вне этой окружности.

1
Рисунок 12.8.1

Пусть  – заданная окружность (рис. 12.8.1). Пусть точка A лежит внутри окружности и  где   и  Проведем через точки B и C касательные к окружности, которые пересекутся с лучом [OA) в точке  Покажем, что

Действительно, из того свойства, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому отрезков гипотенузы, полученных разбиением ее основанием высоты, получаем, что  но  откуда
Приведенные рассуждения дают способ геометрического построения образа точки A при инверсии

Лемма 12.1. 

Если две фигуры F и  имеют единственную общую точку, то их образы при инверсии также будут иметь единственную общую точку.

Доказательство

Введем далее прямоугольную систему координат OXY с началом в центре окружности  инверсии  (рис. 12.8.2).

2
Рисунок 12.8.2

Пусть  – прообраз точки  при инверсии  Из рисунка ясно, что  Отсюда имеем
Так как  то λ > 0, и верно равенство  Умножив обе части этого равенства на OA, имеем  Но, с другой стороны,  и, кроме того,  Отсюда имеем
 
Следовательно, инверсия  задается соотношениями
  (2)
Так как  то
  (3)

Теорема 12.26. 

Инверсия преобразует:

Доказательство

Назовем углом между пересекающимися окружностями с вершиной в точке пересечения меньший угол между касательными к ним прямыми в точке пересечения. Аналогично углом между окружностью и пересекающей ее прямой с вершиной в точке пересечения называется угол между этой прямой и касательной к окружности, проведенной в точке пересечения. Из этого определения следует, что если две окружности или прямая и окружность касаются (то есть имеют единственную общую точку), то угол между ними равен нулю.

Теорема 12.27. 

При инверсии углы сохраняются.

Доказательство

Лемма 12.2. 

Пусть  и  – образы точек A и B соответственно при инверсии с центром O и радиусом R. Тогда треугольники OAB и  подобны и

Доказательство

Теорема 12.28. 

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений противоположных его сторон.

Доказательство

Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Купить картину на холсте
Большой выбор красивых картин на холсте в интернет-магазине. Звоните
rasa-art.ru
Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.