Пусть O – центр гомотетии, а точки A и B при гомотетии с коэффициентом k переходят в точки   и   Тогда   Поэтому

По теореме 12.13 для любых двух точек A, B и их образов  и  при гомотетии верно, что   Из этого равенства следует, что   а это означает, что гомотетия с коэффициентом k является подобием с коэффициентом  

Пусть  получена из фигуры F подобием с коэффициентом k (см. рисунок 12.6.2).

2

Рисунок 12.6.2. К теореме 12.15

Гомотетией с коэффициентом k (и любым центром) переведем фигуру F в фигуру F₁. Тогда любым точкам X, Y фигуры F ставят в соответствие такие точки X₁, Y₁, что X₁Y₁ = kXY. Но и для точек     фигуры   соответствующих точкам X, Y, также   Поэтому   Это равенство верно для любых точек , фигуры . Следовательно, фигуры и можно некоторым движением перевести в фигуру  

Пусть гомотетия переводит концы отрезка AB в точки   (см. рисунок 12.6.3).

3

Рисунок 12.6.3. К теореме 12.16

Точка X  AB тогда и только тогда, когда   где 0 ≤ λ ≤ 1 (см. теорему 10.4). При этом, если λ возрастает от 0 до 1, то X пробегает отрезок AB от A к B.

По свойству гомотетии   и   Из этих равенств    Подставляя эти значения в равенство   получим   откуда   А это равенство означает, что когда число λ возрастает от 0 до 1, точка  пробегает отрезок  

Пусть A, B, C – заданные точки, а    – их образы при гомотетии f с коэффициентом k. Пусть   Тогда  и   (см. рис. 12.6.4).

4

Рисунок 12.6.4. К теореме 12.17

По основному свойству гомотетии   Отсюда получаем, что   Кроме того,   Тогда   Из равенства косинусов и следует равенство углов. Теорема доказана.

Пусть дан треугольник ABC, и гомотетия переводит точки A, B, C в точки   Тогда ΔABC переходит в  так как отрезок AB переходит в отрезок  AC – в  BC – в   Из теоремы 12.13 следует, что      Отсюда  и окончательно   Равенство углов треугольника вытекает из теоремы 12.17. Теорема доказана.

Пусть фигура P подобием f с коэффициентом k₁ переводится в фигуру P₁, а затем фигура P₁ подобием g с коэффициентом k₂ переводится в фигуру P₂ (рис. 12.6.5).

Пусть точкам X, Y фигуры P соответствуют точки X₁, Y₁ фигуры P₁. Тогда X₁Y₁ = kXY. Пусть далее точкам X₁, Y₁ фигуры P₁ соответствуют точки X₂, Y₂ фигуры P₂. Тогда X₂Y₂ = k₂X₁Y₁. Тем самым точкам X, Y фигуры P соответствуют точки X₂, Y₂ фигуры P₂, и из приведенных равенств следует, что X₂Y₂ = k₁k₂XY. В силу произвольности точек X и Y фигуры P это означает, что преобразование g ○ f – подобие с коэффициентом k₁k₂.

5

Рисунок 12.6.5. Композиция подобий