Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 11. Векторы

Назад Вперед
Назад Вперед

11.4. Решение задач векторным методом

При решении геометрических задач векторным методом нужно от геометрической постановки задачи перейти к ее векторному описанию. Затем, пользуясь свойствами векторов и операций над ними, найти некоторые векторные соотношения, отражающие данные и условия задачи, из которых можно получить решение задачи. Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.

1
Рисунок 11.4.1

Пусть M и N – середины диагоналей трапеции ABCD (см. рис. 11.4.1). Покажем, что MN || AD. Для этого достаточно показать, что  коллинеарен

Так как M и N – середины отрезков AC и BD, то
Следовательно,
Но  коллинеарен вектору , поэтому  Тогда
то есть  коллинеарен  что и требовалось доказать.

Задача 2. Разделить данный отрезок AB в данном отношении m : n, то есть найти точку MAB, такую, что AM : MB = m : n.
2
Рисунок 11.4.2

Очевидно, что MAB делит отрезок AB в заданном отношении m : n тогда и только тогда, когда  Кроме того,
 
Отсюда
 
Подставляя в исходное соотношение, имеем
откуда находим
В частности, если M – середина отрезка AB, то m = n, и получим

Если точки A и B заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат  то, используя формулу, можно легко найти координаты точки M в той же системе координат. Векторное равенство равносильно числовым равенствам
 
где  и  – координаты концов отрезка AB, а x и y – координаты искомой точки M.

В частности, когда точка M является серединой отрезка AB, получаем
 
Таким образом, мы векторным путем получили результаты, полученные нами ранее в § 10.2 (см. теоремы 10.3 и 10.4).


Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Замучил варикоз на ногах: планкен из лиственницы москва .
lespil.com
Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.