Глава 11. Векторы

11.4. Решение задач векторным методом

При решении геометрических задач векторным методом нужно от геометрической постановки задачи перейти к ее векторному описанию. Затем, пользуясь свойствами векторов и операций над ними, найти некоторые векторные соотношения, отражающие данные и условия задачи, из которых можно получить решение задачи. Рассмотрим несколько примеров.

Задача 1. Доказать, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.

1

Рисунок 11.4.1

Пусть M и N – середины диагоналей трапеции ABCD (см. рис. 11.4.1). Покажем, что MN || AD. Для этого достаточно показать, что  коллинеарен

Так как M и N – середины отрезков AC и BD, то
Следовательно,
Но  коллинеарен вектору , поэтому  Тогда
то есть  коллинеарен  что и требовалось доказать.

Задача 2. Разделить данный отрезок AB в данном отношении m : n, то есть найти точку MAB, такую, что AM : MB = m : n.

2

Рисунок 11.4.2

Очевидно, что MAB делит отрезок AB в заданном отношении m : n тогда и только тогда, когда  Кроме того,
Отсюда
Подставляя в исходное соотношение, имеем
откуда находим
В частности, если M – середина отрезка AB, то m = n, и получим

Если точки A и B заданы своими координатами в некоторой декартовой системе координат  то, используя формулу, можно легко найти координаты точки M в той же системе координат. Векторное равенство равносильно числовым равенствам
где  и  – координаты концов отрезка AB, а x и y – координаты искомой точки M.

В частности, когда точка M является серединой отрезка AB, получаем
Таким образом, мы векторным путем получили результаты, полученные нами ранее в § 10.2 (см. теоремы 10.3 и 10.4).