Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 11. Векторы

Назад Вперед
Назад Вперед

11.1. Основные понятия и свойства

Вектором называется направленный отрезок. Если у отрезка AB его концы равноправны, то для вектора один из концов отрезка, например, A называется началом, а другой, то есть B, – концом. Обозначим вектор либо указанием концов отрезка, причем начало вектора ставится на первое место, либо строчной латинской буквой со стрелкой или чертой над буквами.

1
Рисунок 11.1.1.
Отрезок AB
2
Рисунок 11.1.2.
Вектор
3
Рисунок 11.1.3.
Вектор

На рис. 11.1.1 изображен обычный отрезок AB, а на рис. 11.1.2 – вектор на рис. 11.1.3 – вектор

Векторы и называются одинаково направленными или сонаправленными, если лучи AB и CD одинаково направлены. Если лучи AB и CD противоположно направлены, векторы и называются противоположно направленными. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

4
Рисунок 11.1.4.
Коллинеарные векторы

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютную величину вектора обозначим Два вектора называются равными, если они одинаково направлены и равны по абсолютной величине. На рис. 11.1.5 вектор а вектор

5
Рисунок 11.1.5.
Равенство векторов

Углом между ненулевыми векторами и называется угол BAC. Углом между любыми двумя ненулевыми векторами и называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами равен нулю.

Нулевым вектором  называется вектор, у которого начало совпадает с концом. Направление нулевого вектора не определено, а его модуль считается равным нулю. Вектор называется единичным, если его абсолютная величина равна единице.

Замечание 11.1

Любую пару векторов, один из которых равен нулевому вектору будем считать коллинеарными.

Теорема 11.1. 

Два вектора, сонаправленные с третьим вектором, сонаправлены.

Доказательство

Свойства равенства векторов:

Теорема 11.2. 

Пусть даны два вектора и не лежащие на одной прямой. Соединим начала A и C и концы B и D этих векторов. Если четырехугольник ABDC – параллелограмм, то и наоборот, если то четырехугольник ABDC – параллелограмм.

Доказательство

Теорема 11.3. 

Если то

Доказательство

Пусть на плоскости Oxy точка  – начало вектора а точка  – его конец.

Координатами вектора  называются числа Для обозначения того, что вектор имеет координаты и используют запись Длина отрезка равна и равна по определению абсолютной величине вектора Радиус-вектором точки M (xy) плоскости Oxy называется вектор с началом в точке O (0, 0) и концом в точке M (xy).

Теорема 11.4. 

Если два вектора равны, то равны и их соответствующие координаты.

Доказательство

Теорема 11.5. 

Если у двух векторов соответствующие координаты равны, то эти векторы равны.

Доказательство

Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.