Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 10. Декартовы координаты

Назад Вперед
Назад Вперед

10.9. Гипербола и ее свойства

В § 7 было получено уравнение гиперболы. Перейдем к новой системе координат, как и в § 8.

В новой системе координат, которую называют также канонической, уравнение гиперболы имеет вид
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

Отметим следующие свойства гиперболы.

Свойство 10.6. 

Гипербола не имеет общих точек с осью Oy, а ось Ox пересекает в двух точках A (a; 0) и B (–a; 0), которые называются вершинами гиперболы.

Доказательство

Отрезок AB называется действительной осью гиперболы, его длина равна 2a. Число a называется действительной полуосью гиперболы, число bмнимой полуосью.

Свойство 10.7. 

Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Доказательство

Свойство 10.8. 

Гипербола имеет центр симметрии.

Доказательство

Центр симметрии гиперболы называют центром гиперболы.

Свойство 10.9. 

Гипербола пересекается с прямой y = kx при  в двух точках. Если  то общих точек у прямой и гиперболы нет.

Доказательство

Так как гипербола симметрична относительно осей координат, то достаточно изучить ее форму в первом квадранте координатной плоскости. Из полученных формул
 
видно, что при возрастании k от нуля до  (при этом угол наклона прямой к оси Ox возрастает от нуля до некоторого значения) и абциссы, и ординаты точек пересечения прямой с гиперболой возрастают. Прямая y = kx пересекает гиперболу во все более далеких от начала координат точках. Таким образом, гипербола имеет вид, изображенный на рис. 10.9.1, и состоит из двух не связанных между собой частей, называемых ее ветвями.

1
Рисунок 10.9.1

Точки  и  называются фокусами гиперболы. Здесь

Величина  называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается так же, как и в случае эллипса, буквой ε.

Из определения
Из формулы видно, что чем меньше эксцентриситет, тем более гипербола сжата к оси Ox.

В соответствии с обозначениями
Тогда, аналогично случаю с эллипсом,
Координаты точки A при переходе в новую систему координат будут равны
То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус  гиперболы, и поэтому совпадает с ним.

Уравнение же прямой l в новой системе координат будет иметь вид
Обозначим  Так как   то, поскольку для гиперболы ε > 1, имеем d < a. Прямая x = d называется директрисой гиперболы, соответствующей фокусу   Прямую x = –d называют директрисой, соответствующей фокусу

С учетом симметрии гиперболы относительно осей координат, свойство, с помощью которого определили гиперболу, в новых терминах можно сформулировать так же, как и в случае эллипса: отношение расстояния от любой точки гиперболы до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид гиперболы и ее директрис в канонической системе координат приведен на рис. 10.9.2.

2
Рисунок 10.9.2

Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.