Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн



Глава 10. Декартовы координаты

Назад Вперед
Назад Вперед

10.8. Эллипс и его свойства

В § 7 было получено уравнение фигуры, которую мы назвали эллипсом:
Перейдем в новую систему координат, перенеся начало системы координат в точку  и повернув оси исходной системы на угол 90°.

В соответствии с формулами преобразования координат выразим старые координаты через новые по формулам:
или
В новой системе координат, которую называют канонической, уравнение эллипса имеет вид
при этом
то есть при k < 1 получим, что a > b > 0. В дальнейшем для удобства будем опускать знак "штрих" и будем вместо x' (y') писать x (y). Таким образом, получим уравнение эллипса в новой системе координат.
Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Рассмотрим свойства эллипса.

Свойство 10.1. 

Эллипс пересекает каждую из осей координат в двух точках.

Доказательство

Точки ABC и D называются вершинами эллипса. Отрезок AC называется большой осью эллипса, отрезок BDмалой осью. Числа a и b называют полуосями эллипса. Точки  и  где  называются фокусами эллипса.

Пусть M (xy) – произвольная точка эллипса. Найдем расстояния от точки M до фокусов эллипса.
 
Рассмотрим выражение

Здесь мы учли, что координаты (xy) точки M удовлетворяют уравнению эллипса.

Величину  называют эксцентриситетом эллипса. Очевидно, для эллипса ε < 1. Поскольку  то отсюда следует, что a – εx > 0. Поэтому  

Свойство 10.2. 

Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов есть величина постоянная и равная удвоенной большей полуоси.

Доказательство

Свойство 10.3. 

Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии.

Доказательство

Свойство 10.4.  Эллипс имеет центр симметрии.

Доказательство

Центр симметрии эллипса называется центром эллипса.

Свойство 10.5.  Эллипс может быть получен сжатием окружности.

Доказательство

В качестве характеристики формы эллипса удобнее пользоваться эксцентриситетом. Так как
то чем больше ε, тем более сжат эллипс.

При малых значениях эксцентриситета эллипс мало отличается от окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность.

В § 7 мы определили эллипс как множество точек, отношение расстояний от которых до данной точки A и данной прямой l есть величина постоянная и равная числу k.

Рассмотрим, какие координаты имеет точка A и какое уравнение – прямая l в канонической системе координат. Для начала отметим, что в силу введенных ранее обозначений
Тогда
Таким образом, данное в условии исходной задачи число, характеризующее величину отношения расстояний от точки эллипса до точки A и прямой l, есть эксцентриситет эллипса.

Координаты точки  при переходе в новую систему будут равны:
То есть точка A в новой системе координат имеет те же координаты, что и фокус  эллипса и поэтому совпадет с ним.

Уравнение прямой в исходной системе координат имело вид  После замены системы координат получим новое уравнение прямой l
Обозначим  и покажем, что  Действительно,
Поскольку для эллипса ε < 1, то

Прямая x = –d называется директрисой, соответствующей фокусу F1(-c; 0). Наряду с этой директрисой вводят прямую x = d, которая является директрисой, соответствующей фокусу F2(c; 0).

С учетом свойств симметрии эллипса, свойство, с помощью которого мы определили эллипс, в новых терминах можно сформулировать следующим образом: отношение расстояния от любой точки эллипса до одного из его фокусов к расстоянию от этой точки до соответствующей ему директрисы есть величина постоянная и равная эксцентриситету. Вид эллипса в канонической системе координат и его директрисы приведены на рис. 10.8.1.

1
Рисунок 10.8.1

Назад Вперед
Наверх

Включить/Выключить фоновую музыкуВключить/Выключить звуки событий

Главная   Онлайн учебники   База репетиторов России   Тренажеры по математике   Подготовка к ЕГЭ 2017 онлайн

Кс го рулетка от 1 рубля
Интернет-магазин рандом предметов КС ГО
evacsgo.ru
Смотрите также: Математика, Аннглийский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: online подготовка к ЕГЭ на College.ru, библиотека ЭОРов и обучающие программы на Multiring.ru.