Учебник. Уравнение прямой линии

Рассмотрим произвольную точку $M\left(x_0\mathrm{; }{y}_0\mathrm{; }{z}_0\right)$ и некоторый вектор $\overrightarrow{a}\left(a\mathrm{; }b\mathrm{; }c\right)\mathrm{.}$ Поставим задачу найти множество точек $A\left(x\mathrm{, }y\mathrm{, }z\right)$ таких, что вектор $\stackrel{⟶}{MA}$ параллелен вектору $\overrightarrow{a}\mathrm{.}$ Очевидно, что искомое множество – прямая, проходящая через точку M параллельно вектору $\overrightarrow{a}\mathrm{.}$

Найдем уравнение этого геометрического места точек. Параллельность векторов $\stackrel{⟶}{MA}$ и $\overrightarrow{a}$ означает, что существует такое число t, что $\stackrel{⟶}{MA}=t\overrightarrow{a}\mathrm{.}$ Пусть вектор $\stackrel{⟶}{a}$ имеет координаты (a; b; c). Запишем это равенство в виде трех скалярных равенств: $\begin{array}{c}x-x_0=at\mathrm{;}\\ y-y_0=bt\mathrm{;}\\ z-z_0=ct\mathrm{.}\end{array}\}\iff \{\begin{array}{c}x=x_0+at\mathrm{;}\\ y=y_0+bt\mathrm{;}\\ z=z_0+ct\mathrm{.}\end{array}$

Три последних равенства и описывают прямую в пространстве, проходящую через заданную точку параллельно направляющему вектору. Заметим, что в этих равенствах t – любое число.

Прямую в пространстве можно также задать системой двух линейных уравнений, в которых переменными являются координаты x, y и z: $\{\begin{array}{c}{a}_{1}x+b_{1}y+c_{1}z+d_1=0\mathrm{;}\\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z+d_2=0.\end{array}$ Геометрически это соответствует заданию прямой как геометрического места пересечения двух плоскостей.