Учебник. Уравнение плоскости

Рассмотрим произвольную точку $M\left(x_0\mathrm{; }{y}_0\mathrm{; }{z}_0\right)$ в пространстве и некоторый вектор $\overrightarrow{n}\left(a\mathrm{; }b\mathrm{; }c\right)\mathrm{.}$ Очевидно, что геометрическим местом точек $A\left(x\mathrm{; }y\mathrm{; }z\right)$ таких, что вектор $\stackrel{⟶}{MA}$ перпендикулярен вектору $\overrightarrow{n}$ будет плоскость, проходящая через точку M перпендикулярно прямой, для которой вектор $\overrightarrow{n}$ является направляющим. Нашей задачей будет установить уравнение плоскости, то есть найти соотношение, которому удовлетворяют координаты точки A.

Запишем условие перпендикулярности векторов с использованием скалярного произведения: $\stackrel{⟶}{MA}\mathrm{\perp }\overrightarrow{n}\iff \left(\stackrel{⟶}{MA}\mathrm{, }\overrightarrow{n}\right)=0.$

Запишем последнее равенство в координатах: $\left(x-x_0\right)ċa+\left(y-y_0\right)ċb+\left(z-z_0\right)ċc=0.$

Поскольку все наши выкладки были равносильными, то это и есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку. Преобразуем его к виду $ax+by+cz-\left(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0\right)=0.$

Обозначая $d=\mathrm{-}\left(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0\right)\mathrm{,}$ получим $ax+by+cz+d=\mathrm{0. (1)}$

Это и есть так называемое общее уравнение плоскости.

Нормальный вектор к плоскости перпендикулярен ей, что следует из самого вывода уравнения плоскости.

Рассмотрим плоскость 3x + 2y + z – 6 = 0. Пусть A – точка пересечения этой плоскости с осью Ox, то есть A(2; 0; 0). Точка B(0; 3; 0) – это точка пересечения данной плоскости с осью Oy, точка C(0; 0; 6) – с осью Oz (чертеж 9.7.1). Уравнение $\frac{x}{a}$ называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Эта плоскость пересекает оси Ox, Oy, Oz соответственно в точках A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c).

Плоскость, изображенная на чертеже 9.7.1, имеет такое уравнение в отрезках на осях: $\frac{x}{2}$